Chứng minh bất đẳng thức sử dụng các tính chất SVIP

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết $z\ge y\ge x\ge 0$ suy ra $x(x-y)(x-z)\ge 0$ (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung $z-y\ge 0$ (2) 

và ta có $y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)=(z-y)\big[z(z-x)-y(y-x)\big]$ (3)

Mà $z\ge y\ge x\ge 0$ nên $z\ge y\ge 0$ và $z-x\ge y-x\ge 0$, từ đó  

$z(z-x)\ge y(y-x)$ nên $z(z-x)-y(y-x)\ge 0$ (4)

Từ (2) và (4) suy ra  $(z-y)\big[z(z-x)-y(y-x)\big] \ge 0$, kết hợp với (3) suy ra 

$y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y) \ge 0$ (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

1) Có $a^2-ab+b^2=\dfrac14(4a^2-4ab+4b^2)=\dfrac14(2a-b)^2+\dfrac34b^2\ge 0$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{aligned}&b=0\\&2a-b=0\\ \end{aligned}\right.$ 

hay $a = b = 0$.

2) Có $a^2-ab+b^2=\dfrac14(4a^2-4ab+4b^2)$

$=\dfrac14(a+b)^2+\dfrac34(a-b)^2 \ge \dfrac14(a+b)^2$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\dfrac14(a+b)^2+\dfrac34(a-b)^2} \ge \dfrac12(a+b)$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Trương tự $\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge \dfrac12(b+c)$ và $\sqrt{c^2-ca+ca}\ge \dfrac12(c+a)$.

Từ đó $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2} \ge \dfrac12(a+b+b+c+c+a)$

$=(a+b+c)=3$                                                                           

Vậy $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge 3$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{a+b+c}{3}=1$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $x^2+y^2+xy-3x-3y+3$

$=(x-1)^2+(y-1)^2+xy+1-x-y$

$=(x-1)^2+(y-1)^2+(x-1)(y-1) \ge 0$                       

(do $a^2+ab+b^2=\dfrac14(4a^2+4ab+4b^2)=\dfrac14(2a+b)^2+\dfrac34b^2\ge 0$)

Hướng dẫn giải:

Giả thiết đã cho tương đương với $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=6$. (1)

Ta có $\Big(\dfrac{1}{a}-1\Big)^2 \ge 0$

$\dfrac{1}{a^2}+1 \ge \dfrac{2}{a}$ nên 

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge 2\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)-3$ (2)

Lại có $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \ge \dfrac{2}{ab}$ nên 

$2\Big(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\Big)\ge 2\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\Big)$ (3)

Cộng (2) và (3) theo vế  và sử dụng (1)  ta có    

$3\Big(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\Big)\ge 2\Big(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)-3=2.6-3=9$ 

Suy ra $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge 3$.

Hướng dẫn giải:

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là $x^6(x-1)^2+3\Big(x^4-\dfrac12\Big)^2+\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)^2$.

Từ đó suy ra đpcm.

Hướng dẫn giải:

Chú ý rằng $1+4=2+3$, ta đặt  $t=(x-1)(x-4)=x^2-5x+4$ thì 

$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6=t+2$

từ đó $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1$

$=t(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2 \ge 0$

Dẳng thức chỉ xảy ra khi $t=-1$

hay $x^2-5x+4=-1$

$x^2-5x+5=0$

$x=\dfrac{5\pm \sqrt{5}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Chú ý rằng $x+y=1$ nên $\Big(1+\dfrac{1}{x}\Big)\Big(1+\dfrac{1}{y}\Big)-9$

$=\dfrac{(x+1)(y+1)-9xy}{xy}=\dfrac{2-8xy}{xy}$  

$=\dfrac{2(1-4xy)}{xy}=\dfrac{2\Big((x+y)^2-4xy\Big)}{xy}$

$=\dfrac{2(x-y)^2}{xy} \ge 0$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\dfrac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với $x+y$ ta được bất đẳng thức tương đương là

$x^5+y^5>\big(x^2+y^2\big)(x+y)$ (1)

Từ giả thiết $x>\sqrt{2}$ suy ra $x^2>2$ suy ra $x^5>2x^3$, từ đó   

$x^5+y^5>2\big(x^3+y^3\big)$

$=2(x^2-xy+y^2)(x+y)$

$=(x-y)^2+(x^2+y^2)(x+y) \ge (x^2+y^2)(x+y)$ suy ra (1), điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   $2\Big(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\Big) \ge 2\Big(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}\Big)$

Xét dấu hiệu $2\Big(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\Big)-2\Big(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}\Big)$

$=\Big(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{c}\Big)^2+\Big(\dfrac{b}{c}-\dfrac{c}{a}\Big)^2+\Big(\dfrac{c}{a}-\dfrac{a}{b}\Big)^2\ge 0$

Từ đó suy ra đpcm.

Hướng dẫn giải:

⚡Nếu $x<1$ thì $x^8-x^7+x^2-x+1$

$=x^8+x^2\big(1-x^5\big)+(1-x)>0$.

⚡Nếu $x\ge 1$ thì $x^8-x^7+x^2-x+1$

$=x^7(x-1)+x(x-1)+1>0$.