Cấp số cộng SVIP

1. ĐỊNH NGHĨA

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $d$, tức là: $u_n=u_{n-1}+d$ với $n \ge 2$. Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý: Cho cấp số cộng $(u_n)$, ta có $d=u_2-u_1=u_{n+1}-u_{n}$.

2. CÔNG THỨC

Số hạng tổng quát:

Nếu cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức: $u_n=u_1+(n-1)d$ với $n\ge 2$.

Tính chất: Cho cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

Tổng n số hạng đầu tiên:

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+ ... +u_n$. Khi đó:

$S_n=\dfrac{(u_1+u_n).n}{2}$ hoặc $S_n=n.u_1+\dfrac{n.(n-1)}{2} d$.

Dạng 1. Nhận diện cấp số cộng

Phương pháp: Nếu trong dãy số, số sau bằng số trước đó cộng với một số không đổi $d$ thì dãy số đó là cấp số cộng.

Ví dụ 1. Trong các dãy số sau, dãy nào là một cấp số cộng?

a. $1; \, -3; \, -6; \, -9; \, -12$.

b. $1; \, -3; \, -7; \, -11; \, -15$.

c. $1; \, -3; \, -5; \, -7; \, -9$.

Lời giải

Ta có dãy số $1; \, -3; \, -7; \, -11; \, -15$ là một cấp số cộng có công sai $d=-4$.

Dạng 2. Tìm công thức cấp số cộng

Phương pháp: Xác định $u_1$ là số hạng đầu, $d$ là công sai rồi áp dụng công thức $u_n=u_1+(n-1)d$.

Ví dụ 2. Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_3=-3$ và $u_4=11$. Tìm công sai $d$ của cấp số cộng?

Lời giải

Ta có $u_3=u_1+2d=-3$, $u_4=u_1+3d=11$.

Suy ra $u_4-u_3= (u_1+3d)-(u_1+2d)=d=11-(-3)=14$.

Dạng 3. Số hạng tổng quát cấp số cộng

Phương pháp: Sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$, từ đó xác định $u_1$ và $d$.

Ví dụ 3. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=-3; \, u_3=1$. Tính $u_8$.

Lời giải

Ta có: $u_3=u_1+2d\Leftrightarrow 1=-3+2d\Leftrightarrow d=2$.

Suy ra: $u_8=u_1+7d=-3+7.2=11$.

Dạng 4. Tính tổng cấp số cộng

Phương pháp: Xác định $u_1$ và $d$ rồi áp dụng một trong hai công thức $S_n=\dfrac{(u_1+u_n).n}{2}$ hoặc $S_n=n.u_1+\dfrac{n.(n-1)}{2} d$.

Ví dụ 4. Cho cấp số cộng $(u_n)$, biết $u_1=2$, công sai $d=-1$, tính tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng trên.

Lời giải

Tổng $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_{10}=n.u_1+\dfrac{n(n-1)}{2}.d=10.2+\dfrac{10( 10-1 )}{2}.( -1 )=-25$.