Bất phương trình bậc nhất hai ẩn SVIP

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ là bất phương trình có một trong các dạng sau:

$ax+by< c;ax+by>c;ax+by\le c;ax+by\ge c.$$ax+by+c< 0;ax+by+c>0;ax+by+c\ge0;ax+by+c\le0$

trong đó $a,b,c$ là những số cho trước với $a,b$  không đồng thời bằng $0$ , $x$ và $y$ là các ẩn.

Ví dụ.  $3x-2y+4< 0$  và $x+6y-\dfrac{1}{3}\ge0$ là những bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét bất phương trình $ax+by+c< 0.$

Mỗi cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ thỏa mãn $ax_0+by_0+c< 0$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Ví dụ. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn $2x+y-6< 0$. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình trên?

a) $\left(x;y\right)=\left(1;2\right)$;              b) $\left(x;y\right)=\left(4;-1\right)$.

Giải

a) Vì $2.1+2-6=-2< 0$ nên cặp số $\left(1;2\right)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Vì $2.4+\left(-1\right)-6=1>0$ nên cặp số $\left(4;-1\right)$ không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm $\left(x_0;y_0\right)$ sao cho $ax_0+by_0+c< 0$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c< 0.$

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by+c< 0$ như sau:

Bước 1: Trân mặt phẳng $Oxy$, vẽ đường thẳng $\Delta:ax+by+c=0.$

Bước 2: Lấy một điểm $\left(x_0;y_0\right)$ không thuộc $\Delta$. Tính $ax_0+by_0+c.$

Bước 3: Kết luận

- Nếu $ax_0+by_0+c< 0$ thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ $\Delta$) chứa điểm $\left(x_0;y_0\right)$.

- Nếu  $ax_0+by_0+c>0$ thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ $\Delta$) không chứa điểm $\left(x_0;y_0\right)$.

Chú ý:  Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng $ax+by+c\le0$ (hoặc $ax+by+c\ge0$) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c< 0$ (hoặc $ax+by+c>0$) kể cả bờ.

Ví dụ. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x-y\ge0$ trên mặt phẳng tọa độ?

Giải.

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $2x-y\ge0$ trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Vẽ đường thẳng $d:2x-y=0$ trên mặt phẳng tọa độ.

Lấy điểm $M\left(1;0\right)$  không thuộc $d$ . Ta có $2.1-0=2>0$ do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $M$(miền không tô màu) trong hình vẽ sau