Bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\widehat{A_1}=(180^\circ-\widehat{O_1}) \, : \, 2$

$\widehat{A_2}=(180^\circ-\widehat{O_2}) \, : \, 2$

Suy ra $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^\circ$ suy ra $\widehat{DAE}=90^\circ$.

b) Có tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật).

c) Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $AM$ suy ra $ID=IA$

$\Delta IAO=\Delta IDO$ (ccc) suy ra $\widehat{IAO}=\widehat{IDO}=90^\circ$

Suy ra $MA \bot OA$ với $A \in (O)$

Chứng minh tương tự: $MA \bot O'A$ với $A \in (O')$.

Vậy $MA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $OO'=OI+O'I$.

Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $I$.

b) Xét $\Delta AIJ$ và $\Delta A'IJ'$ có:

$\widehat{A}=\widehat{A'}=90^\circ$

$\widehat{I_1}=\widehat{I_2}$ suy ra $\Delta AII \backsim \Delta A'IJ'$.

c) $\Delta AIJ \backsim\Delta A'IJ'$ (g.g) 

Suy ra $\dfrac{IA}{IA'}=\dfrac{IJ}{JI'}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$ (1) 

$\Delta OIB \backsim \Delta O'IB'$  (g.g) suy ra $OB$ // $O'B'$

Suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{B'_1}$ suy ra $\dfrac{IB}{IB'}=\dfrac{OB}{O'B'}=\dfrac{5}{2}$ (2)

 Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{IA}{IA'}=\dfrac{IB}{IB'}=\dfrac{5}{2}$; $\widehat{AIB}=\widehat{A'IB}$

Nên $\Delta IAB \backsim \Delta IA'B'$ (c.g.c).

d) $\Delta IAB \backsim \Delta IA'B'$ (c.g.c)

Suy ra $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{IA}{IA'}=\dfrac{5}{2}$;

$\dfrac{OA}{O'A'}=\dfrac{OB}{O'B'}=\dfrac{5}{2}$

Suy ra $\dfrac{OA}{O'A'}=\dfrac{OB}{O'B'}=\dfrac{AB}{A'B'}$ suy ra $\Delta AOB\backsim \Delta A'O'B'$ (c.c.c).

e) $\Delta AOB\backsim\Delta A'O'B'$ suy ra $\widehat{OBA}=\widehat{O'B'A'}; \, \widehat{OBI}=\widehat{O'B'I'}$

Suy ra $\widehat{ABI}=\widehat{AB'I'}$ nên $AB$ // $A'B'$.

Tứ giác $ABA'B'$ có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

Hướng dẫn giải:

Trường hợp 1: $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong.

Xét $\Delta OAC$, ta có:

$\dfrac{O'B}{OC}=\dfrac{r}{R}=\dfrac{O'A}{OA}$ suy ra $O'B$ // $OC$.

Suy ra các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ song song với nhau vì chúng lần lượt vuông góc với $O'B$ và $OC$.

Trường hợp 2: $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài.

Ta thấy $\Delta O'AB \backsim \Delta OAC$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{O' B}{OC}=\dfrac{r}{R}=\dfrac{O'A}{OA}$

Nên $O'B$ // $OC$.

Lập luận tương tự như trên, ta được điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $(O')$ là đường tròn đường kính $OA$.

Vì $OO'=OA-O'A$ nên hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong.

b) Các tam giác cân $AO'C$ và $AOD$ có chung góc ở đỉnh $A$ nên $\widehat{ACO'}=\widehat{D}$, suy ra $O'C$ // $OD$.

Tam giác $AOD$ có $AO'=O'O$ và $O'C$ // $OD$ nên $AC=CD$.