Bài toán liên quan đến hai đường tròn cắt nhau SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $12-5<13<12+5$ hay $R-R'<d<R+R'$ nên hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) $OA^2+O'A^2=12^2+5^2=169$;

$O'O^2=13^2=169$

$\Delta OAO'$ có: $OA^2+O'A^2=O'O^2$, theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác $\Delta OAO'$ vuông tại $A$.

Có $OA \bot O'A$ do đó $OA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O')$ và $O'A$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

$O'O$ là đường trung trực của đoạn $AB$.

Gọi $H$ là giao điểm của $O'O$ và $AB$ nên $AH.O'O=OA.O'A$ suy ra $AH=\dfrac{OA.O'A}{O'O}=\dfrac{12.5}{13}=\dfrac{60}{13}$ cm.

Vậy $AB=2AH=\dfrac{120}{13}$ cm.

Hướng dẫn giải:

a) $\Delta BCD$ có $OO'$ là đường trung bình suy ra $OO'$ // $CD$ (1)

$\Delta ABC$ có $OI$ là đường trung bình suy ra $OO'$ // $CA$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $C$, $A$, $D$ thẳng hàng.

b) Ta có: $\Delta OBO'$ vuông tại $B$ suy ra $\Delta BCD$ vuông tại $B$

Suy ra $S_{BCD}=\dfrac12.BC.BD=\dfrac{1}{2}.8.6=24$ (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải:

a. Kẻ $OH \bot AM$; $O'K \bot MB$ suy ra $OH$ // $O'K$.

Tứ giác $HKOO'$ là hình thang, $MI \bot AB$ suy ra $MI$ // $OH$ và $IO$ // $IO'$

Suy ra $MH=MK$. 

Mà $OH \bot AM$ suy ra $HA=HM=MK=KB$ (đpcm).

b. Ta có $ME$ là đường trung bình của hình thang $ABQP$

Suy ra $EP=EQ$.

c. Xét $\Delta HIK$, có $IM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra $\Delta HIK$ cân tại $I$ (đpcm).

Hướng dẫn giải:

a. $| OI-OK |<IK<OI+OK$ suy ra $( I )$ và $( K )$ luôn cắt nhau

b. Do $OI=NK$; $OK=IM$ suy ra $OM=ON$,

Mà $OMCN$ là hình chữ nhật nên $OMCN$ là hình vuông.

c. Gọi $L$ là giao điểm của $KB$ và $MC$; $P$ là giao điểm của $IB$ và $NC$

Suy ra $OBKI$ là hình chữ nhật và $BLMI$ là hình vuông nên $\Delta BLC=\Delta KIO$

Suy ra $\widehat{LBC}=\widehat{OKI}=\widehat{BIK}$

Mà $\widehat{BIK}+\widehat{IBA}=90^\circ$ suy ra $\widehat{LBC}+\widehat{IBA}=90^\circ$

Do đó, $\widehat{LBC}+\widehat{LBI}+\widehat{IBA}=180^\circ$.

d. Có $OMCN$ là hình vuông cạnh $a$ cố định nên $C$ cố định và $AB$ luôn đi qua $C$.