Bài tập tự luận: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng SVIP

Hướng dẫn giải:

Chú ý:

Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có các hệ số $a,$ $b,$ $c$ thỏa mãn

+) $a+b+c=0$ thì có một nghiệm $x=1$;

+) $a-b+c=0$ thì có một nghiệm $x=-1$.

Hướng dẫn giải:

Thay nghiệm đã biết vào phương trình để tìm $m$, sau đó áp dụng hệ thức Vi-ét $x_1.x_2 = \dfrac ca$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu là $\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right..$

Hướng dẫn giải:

Yêu cầu bài toán tương đương với $\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1x_2< 0\end{matrix}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Yêu cầu bài toán tương đương với 

$\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1< 1\\x_2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1-1< 0\\x_2-1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\\\left(x_1-1\right)+\left(x_2-1\right)< 0\end{matrix}\right.$.

Hướng dẫn giải:

$1^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2.$

Dựa vào hệ thức Vi-ét, tính $x_1+x_2$ và $x_1x_2$ theo $k$.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hệ thức Vi-ét, $x_1+x_2 = -2$, từ đó có hệ phương trình

$\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x_2^2=1\\x_1+x_2=-2\end{matrix}\right..$

Giải hệ phương trình tìm được $x_1,$ $x_2$, từ đó tìm được $k=x_1.x_2$. Cuối cùng, thử lại xem giá trị $k$ vừa tìm được có thỏa mãn không?

Hướng dẫn giải:

Chú ý rằng các biểu thức $A$ và $B$ đều đối xứng.

Đưa các biểu thức về dạng biểu thức của $x_1+x_2$ và $x_1x_2$.

Hướng dẫn giải:

$\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=k+3\\x_1.x_2=2k+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=x_1+x_2-3\\x_1.x_2=2k+1\end{matrix}\right..$

Sau đó thế $k=x_1+x_2-3$ vào hệ thức dưới.

Hướng dẫn giải:

Chú ý xét điều kiện: $S^2>4P$.

Nếu điều kiện thỏa mãn thì hai số là nghiệm của phương trình $X^2-SX+P$.

Hướng dẫn giải:

$S=x_1+x_2;P=x_1x_2$ thì $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $X^2-SX+P$.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hệ thức Vi-ét tính được $y_1+y_2$ và $y_1y_2$.

Hướng dẫn giải:

Hai số $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, giả sử $b\ne0$, chia đa thức $2a^2-5ab-3b^2$ cho $b^2$ ta được $2\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-5\left(\dfrac{a}{b}\right)-3$.

Đặt $\dfrac ab = t$, ta được $2t^2-5t-3$, đa thức có nghiệm $t=3$ hoặc $t=-\dfrac 12$, suy ra $2t^2-5t-3=\left(2t+1\right)\left(t-3\right).$

Do đó $2a^2-5ab-3b^2=\left(2a+b\right)\left(a-3b\right).$

$6ab-a^2-9b^2=-\left(a-3b\right)^2.$