Bài tập tự luận: elip SVIP

Hướng dẫn giải:

Đặt $\left( E \right): \, \dfrac{{ x^2}}{{{a}^2}}+\dfrac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1,\,\left( a>b>0 \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{aligned} & {{a}^2}=36 \\ & {{b}^2}=25 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=6 \\ & b=5 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow c=\sqrt{11}$.

Tiêu điểm: ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{11};0 \right),\,\,{{F}_2}\left( \sqrt{11}\,;0 \right)$.

Tiêu cự: ${{F}_{1}}{{F}_2}=2c=2\sqrt{11}$.

Trục lớn: ${{A}_{1}}{{A}_2}=2a=12$.

Trục bé: ${{B}_{1}}{{B}_2}=2b=10$.

Tâm sai: $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{3};0 \right)$, ${{F}_2}\left( \sqrt{3};0 \right)$.

Gọi $M\left( x;y \right)$, ta có $M\in \left( E \right)\Leftrightarrow \dfrac{{ x^2}}{4}+{{y}^2}=1$ $\left( 1 \right)$.

Mặt khác ta có $\overrightarrow{M{{F}_{1}}}\left( -\sqrt{3}-x;-y \right); \, \overrightarrow{M{{F}_2}}\left( \sqrt{3}-x;-y \right)$.

Do $M{{F}_{1}}\perp M{{F}_2}$ nên $\overrightarrow{M{{F}_{1}}}.\overrightarrow{M{{F}_2}}=0\Leftrightarrow \left( x-\sqrt{3} \right)\left( x+\sqrt{3} \right)+{{y}^2}=0\Leftrightarrow { x^2}+{{y}^2}=3$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{ x^2}}{4}+{{y}^2}=1 \\ & { x^2}+{{y}^2}=3 \\ \end{aligned} \right..$

Suy ra $M\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$ hoặc $M\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3};-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$ hoặc $M\left( -\dfrac{2\sqrt{6}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)$ hoặc $M\left( -\dfrac{2\sqrt{6}}{3};-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right).$

Vậy $M{{F}_{1}}^2+M{{F}_2}^2=2\left( { x^2}+{{y}^2} \right)+6=12.$

${{S}_{\Delta M{{F}_{1}}{{F}_2}}}=\dfrac{1}2M{{F}_{1}}.M{{F}_2}=\dfrac{1}2.\sqrt{{{\left( x+\sqrt{3} \right)}^2}+{{y}^2}}.\sqrt{{{\left( x-\sqrt{3} \right)}^2}+{{y}^2}}=\dfrac{1}2\sqrt{{{\left( { x^2}-3 \right)}^2}+{{y}^2}\left( { x^2}+6 \right)+{{y}^{4}}}=1.$

Hướng dẫn giải:

Elip có hai tiêu điểm là $P$, $Q$ và có chu vi của hình chữ nhật cơ sở bằng $32$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned} & {{a}^2}-{{b}^2}={{c}^2}={{4}^2}=16 \\ & 2\left( 2a+2b \right)=32 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^2}-{{b}^2}=16 \\ & a+b=8 \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=8-b \\ & {{\left( 8-b \right)}^2}-{{b}^2}=16 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=5 \\ & b=3 \\ \end{aligned} \right.$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là $\dfrac{{ x^2}}{{{5}^2}}+\dfrac{{{y}^2}}{{{3}^2}}=1$. 

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\,\dfrac{{ x^2}}{{{a}^2}}+\dfrac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ với $a>b>0$.

Vì $M\left( \dfrac{3}{\sqrt{5}}\,;\,\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right)\in \left( E \right)$ nên $\dfrac{9}{5{{a}^2}}+\dfrac{16}{5{{b}^2}}=1\,\,\left( * \right)$.

Ta có $\widehat{{{F}_{1}}M{{F}_2}}=90^{\circ} \Rightarrow OM=\dfrac{{{F}_{1}}{{F}_2}}2=c\Rightarrow {{c}^2}=O{{M}^2}=\dfrac{9}{5}+\dfrac{16}{5}=5$

$\Rightarrow {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}={{b}^2}+5$.

Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{9}{5\left( {{b}^2}+5 \right)}+\dfrac{16}{5{{b}^2}}=1\Leftrightarrow 9{{b}^2}+16{{b}^2}+80=5{{b}^2}\left( {{b}^2}+5 \right)$

$\Leftrightarrow {{b}^{4}}=16\Leftrightarrow {{b}^2}=4\Rightarrow {{a}^2}=9$.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\left( E \right):\,\dfrac{{ x^2}}{9}+\dfrac{{{y}^2}}{4}=1$.

b) Gọi phương trình chính tắc của $\left( E \right)$ là: $\dfrac{{ x^2}}{{{a}^2}}+\dfrac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ với $a>b>0$, $c=\sqrt{{{a}^2}-{{b}^2}}>0$.

Độ dài trục lớn là $2a$, các đỉnh trên trục nhỏ là ${{B}_{1}}\left( 0\,;b \right),\,\,{{B}_2}\left( 0\,;-b \right)$ và các tiêu điểm ${{F}_{1}}\left( c\,;0 \right)$, ${{F}_2}\left( -c\,;0 \right)$.

Do độ dài trục lớn của $\left( E \right)$ bằng $4\sqrt2$ nên: $2a=4\sqrt2\Leftrightarrow a=2\sqrt2$.

Do các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của $(E)$ cùng nằm trên một đường tròn nên ta có: $b=c\Leftrightarrow b=\sqrt{{{a}^2}-{{b}^2}}$.

Thay $a=2\sqrt2$ vào đẳng thức trên ta được $b=\sqrt{{{\left( 2\sqrt2 \right)}^2}-{{b}^2}}$.

Do $b>0$ nên ta được $b=2$.

Vậy phương trình chính tắc của $(E)$ là: $\dfrac{{ x^2}}{8}+\dfrac{{{y}^2}}{4}=1$.

Hướng dẫn giải:

a) Đường tròn $\left( C \right)$ đường kính $MN$ có tâm $I$ là trung điểm của $MN$ và bán kính $R=\dfrac{MN}2.$

Ta có: $\left\{ \begin{aligned} & x_{I}=\dfrac{{ x_{M}}+{ x_{N}}}2=\dfrac{2+(-2)}2=0 \\ & y_I=\dfrac{{{y}_{M}}+{{y}_{N}}}2=\dfrac{-2+2}2=0 \\ \end{aligned} \right.$.

Vậy $I\left( 0;0 \right)$.

Ta có: $R=\dfrac{MN}2=\dfrac{\sqrt{{{\left( -2-2 \right)}^2}+{{\left( 2+2 \right)}^2}}}2=2\sqrt2.$

Vậy phương trình đường tròn $\left( C \right): \, { x^2}+{{y}^2}=8.$

b) Giao điểm của $\left( C \right)$ và $Ox$ là $A\left( 2\sqrt2\,;0 \right)$ và $B\left( -2\sqrt2\,;0 \right)$.

Gọi phương trình chính tắc của elip $\left( E \right)$ là: $\dfrac{{ x^2}}{{{a}^2}}+\dfrac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ với $a>b>0$.

Độ dài trục lớn của elip bằng $8$ nên $2a=8\Rightarrow a=4$.

$A\left( 2\sqrt2\,;0 \right)$ và $B\left( -2\sqrt2\,;0 \right)$ là các tiêu điểm của elip nên $c=2\sqrt2$.

Do đó ${{b}^2}={{a}^2}-{{c}^2}=16-8=8$.

Vậy phương trình elip là $\dfrac{{ x^2}}{16}+\dfrac{{{y}^2}}{8}=1$.

Hướng dẫn giải:

Vì elip $\left( E \right):\dfrac{{ x^2}}{{{a}^2}}+\dfrac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1$ đi qua hai điểm $A\left( 2\,;\,0 \right)$, $B\left( 1\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}2 \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{4}{{{a}^2}}=1 \\ & \dfrac{1}{{{a}^2}}+\dfrac{\dfrac{3}{4}}{{{b}^2}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{{{a}^2}}=\dfrac{1}{4} \\ & \dfrac{1}{{{b}^2}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^2}=4 \\ & {{b}^2}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=2 \\ & b=1 \\ \end{aligned} \right.$.

Vậy $a=2$, $b=1$.

Hướng dẫn giải:

Do $M$ nhìn ${{F}_{1}}, \, {{F}_2}$ dưới một góc vuông nên $M$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ nhận ${{F}_{1}}{{F}_2}$ là đường kính.

Suy ra $\left( C \right)$ có tâm $O$ và bán kính $R=\dfrac{{{F}_{1}}{{F}_2}}2=\sqrt{5}.$

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$: ${ x^2}+{{y}^2}=5$.

Điểm $M$ là tọa độ giao điểm của $\left( E \right)$ và $\left( C \right)$.

Do đó tọa độ $M$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{ x^2}}{9}+\dfrac{{{y}^2}}{4}=1 \\ & { x^2}+{{y}^2}=5 \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\,\,\left( I \right)$

Giải hệ $\left( I \right)$ ta được: ${{M}_{1}}\left( \dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right); \, {{M}_2}\left( -\dfrac{3}{\sqrt{5}};\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right); \, {{M}_{3}}\left( \dfrac{3}{\sqrt{5}};-\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right); \, {{M}_{4}}\left( -\dfrac{3}{\sqrt{5}};-\dfrac{4}{\sqrt{5}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip $\left( E \right)$ là: $\dfrac{{ x^2}}{{{a}^2}}+\dfrac{{{y}^2}}{{{b}^2}}=1,\,\,a>b>0$.

Do elip $\left( E \right)$ đi qua hai điểm $M\left( 2\,;2\sqrt{6} \right)$ và $N\left( 4\,;-\sqrt{15} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{4}{{{a}^2}}+\dfrac{24}{{{b}^2}}=1 \\ & \dfrac{16}{{{a}^2}}+\dfrac{15}{{{b}^2}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{{{a}^2}}=\dfrac{1}{36} \\ & \dfrac{1}{{{b}^2}}=\dfrac{1}{27} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^2}=36 \\ & {{b}^2}=27 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=6 \\ & b=3\sqrt{3} \\ & c=\sqrt{{{a}^2}-{{b}^2}}=3 \\ \end{aligned} \right.$.

Vậy:

+ Phương trình chính tắc của $\left( E \right):\dfrac{{ x^2}}{36}+\dfrac{{{y}^2}}{27}=1$.

+ Tiêu điểm ${{F}_{1}}\left( -3\,;0 \right),\,\,{{F}_2}\left( 3\,;0 \right)$.

+ Tâm sai $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}2$.