Bài tập tự luận chuyên đề : Phân tích biểu thức thành nhân tử SVIP

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Viết các biểu thức đã cho về hằng đẳng thức bình phương của một tổng/ hiệu.

a)  $10+2\sqrt{21}=\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)^2$

b)  $12-2\sqrt{27}=\left(3-\sqrt{3}\right)^2$

c)  $11+2\sqrt{30}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)^2$

d)  $14-2\sqrt{45}=\left(3-\sqrt{5}\right)^2$

Hướng dẫn giải:

a)   $x^2-2=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)$

b)   $3x^2-1=\left(\sqrt{3}x-1\right)\left(\sqrt{3}x+1\right)$

c)   $\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}\right)^3+\left(\sqrt{y}\right)^3=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)$

d)   $8\sqrt{x^3}-27=\left(2\sqrt{x}\right)^3-3^3=\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(4x+6\sqrt{x}+9\right)$

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Áp dụng phương pháp tách hạng tử.

Đáp án:

a)  $x+6\sqrt{x}-7=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+7\right)$

b)   $x-6\sqrt{x}+8=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-4\right)$

c)   $3x+5\sqrt{x}+2=\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)$

Hướng dẫn giải:

 Với $a,b\ge0$ ta có:

a)

  $3a-2\sqrt{ab}-b=3a-3\sqrt{ab}+\sqrt{ab}-b\\ =3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\\ =\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$

b)

   $5a+3\sqrt{ab}-8b=5a-5\sqrt{ab}+8\sqrt{ab}-8b\\ =5\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+8\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\\ =\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(5\sqrt{a}+8\sqrt{b}\right)$

Hướng dẫn giải:

a)    $x-2\sqrt{x-1}-4=\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1-4\\ =\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2-2^2=\left(\sqrt{x-1}-1-2\right)\left(\sqrt{x-1}-1+2\right)=\left(\sqrt{x-1}-3\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)$

b)

   $x-2\sqrt{x-6}-5-y^2=\left(x-6\right)-2\sqrt{x-6}+1-y^2\\ =\left(\sqrt{x-6}-1\right)^2-y^2=\left(\sqrt{x-6}-1-y\right)\left(\sqrt{x-6}-1+y\right)$

c)

   $x-2\sqrt{x-8}-7-a^2=\left(x-8\right)-2\sqrt{x-8}+1-a^2\\ =\left(\sqrt{x-8}-1\right)^2-a^2=\left(\sqrt{x-8}-1-a\right)\left(\sqrt{x-8}-1+a\right)$

Hướng dẫn giải:

a)   $\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{18}}=\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{6}\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

b)  Với  $a,b>0$

  $\dfrac{a+\sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}}=\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2+\sqrt{a}.\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}\right)^2+\sqrt{a}.\sqrt{b}}\\ =\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

c)   Với $x\ge0$

$\dfrac{4x+3\sqrt{x}-7}{4\sqrt{x}+7}=\dfrac{4x+7\sqrt{x}-4\sqrt{x}-7}{4\sqrt{x}+7}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(4\sqrt{x}+7\right)-\left(4\sqrt{x}+7\right)}{4\sqrt{x}+7}=\dfrac{\left(4\sqrt{x}+7\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{4\sqrt{x}+7}=\sqrt{x}-1.\\$d)     Với    $x\ge0;x\ne16$

$\dfrac{x-3\sqrt{x}-4}{x-\sqrt{x}-12}=\dfrac{x+\sqrt{x}-4\sqrt{x}-4}{x+3\sqrt{x}-4\sqrt{x}-12}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-4\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-4\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$

Hướng dẫn giải:

a)  Điều kiện xác định $x\ge0$

 $x-3\sqrt{x}+2=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{x}-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{x}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(tm\right)\\x=4\left(tm\right)\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{1;4\right\}$

b)   Điều kiện xác định:

 $\left\{{}\begin{matrix}x^2-1\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x\ge1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge1$

 $\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x+1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\sqrt{x+1}=0$

Với điều kiện xác định ta có $x+1\ge0;x-1\ge0$nên $\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}$.

Khi đó ta có:

  $\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}-\sqrt{x+1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=0\\\sqrt{x-1}-1=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=2\end{matrix}\right.$

Đối chiếu với điều kiện $x=2$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$.

c)   Điều kiện xác định $x\ge\dfrac{-1}{2}$

$x^2+4x+4-\sqrt{2x+1}-\left(x-1\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x+2\right)^2-\left(x-1\right)^2-\sqrt{2x+1}=0\\ \Leftrightarrow\left(x+2+x-1\right)\left(x+2-x+1\right)-\sqrt{2x+1}=0\\ \Leftrightarrow3\left(2x+1\right)-\sqrt{2x+1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x+1}\left(3\sqrt{2x+1}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}=0\\3\sqrt{2x+1}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1}{2}\\x=\dfrac{-4}{9}\end{matrix}\right.$

Đối chiếu điều kiện ta có $x=\dfrac{-1}{2};x=\dfrac{-4}{9}$.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{\dfrac{-1}{2};\dfrac{-4}{9}\right\}$.

Hướng dẫn giải:

a)

 $\sqrt{4x-20}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{4\left(x-5\right)}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9\left(x-5\right)}=4\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}.3.\sqrt{x-5}=4\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x-5}=4$

Điều kiện xác định: $x\ge5$.

 $PT\Leftrightarrow\sqrt{x-5}=2\\ \Leftrightarrow x-5=4\\ \Leftrightarrow x=9\left(tm\right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x=9$.

b)   $\sqrt{x^2-36}-\sqrt{x-6}=0$

Phương trình có tập nghiệm  $S=\left\{6;7\right\}$.

c)   Điều kiện xác định : $-2\le x\le2$

$\sqrt{4-x^2}-x+2=0\Leftrightarrow\sqrt{4-x^2}=x-2$

Với điều kiện đã cho thì $VT\ge0,VP\le0$nên phương trình đã cho tương đương với  

$\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-x^2}=0\\x-2=0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-x^2=0\\x-2=0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm2\\x=2\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow x=2\left(tm\right)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$.

d)   $\sqrt{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}-\sqrt{x-1}=0$

Điều kiện xác định: $\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-3\right)\left(x-1\right)\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\x\ge1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge\dfrac{3}{2}$

Với điều kiện trên thì 

 $\sqrt{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}=\sqrt{2x-3}.\sqrt{x-1}$

    $\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}-\sqrt{x-1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-3}.\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{2x-3}-1\right)=0$

Giải 2 trường hợp, đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm $x=2$.