Bài tập tự luận SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $(d)$: $2x - y = 0$.

Ta có $(d)$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, ví dụ điểm $M(1;0)$. Ta thấy $(1; 0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $M(1;0)$ (Miền không được tô màu ở hình vẽ sau).

b) Ta có $\dfrac{x-2y}2 > \dfrac{2x + y + 1}3 \Leftrightarrow 3(x-2y) - 2(2x - y + 1)>0 \Leftrightarrow -x - 4y - 2 > 0 \Leftrightarrow x + 4y + 2 < 0$. 

Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\Delta$: $x + 4y + 2 = 0$.

Xét điểm $O(0;0)$, thấy $(0;0)$ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ (không kể đường thẳng $\Delta$) và không chứa điểm $O(0;0)$ (Miền không được tô màu ở hình vẽ sau).

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ các đường thẳng $d:$ $x + y - 2 = 0$ và $d':$ $x - 3y + 3 = 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Xét điểm $O(0;0)$, thấy $(0;0)$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x + y - 2 \ge 0$ và $x - 3y + 3 \le 0$.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là phần mặt phẳng không được tô màu và kể cả hai đường thẳng $d$ và $d'$.

b) Vẽ các đường thẳng $d:$ $x + y = 0$; $d':$ $2x - 3y + 6 = 0$ và $d'':$ $x - 2y + 1 = 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Xét điểm $O(0;0)$, thấy $(0;0)$ là nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 > 0$ và $x - 2y + 1 \ge 0$.

Do đó $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 > 0$ và $x - 2y + 1 \ge 0$.

Xét điểm $M(1;0)$, thấy $(1;0)$ là nghiệm của bất phương trình $x + y > 0$. Do đó $M(1;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + y > 0$

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ bên dưới kể cả đường thẳng $d''$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $(x - y)(x^3 + y^3) \ge 0 \Leftrightarrow (x - y)(x + y)(x^2 - xy + y^2) \ge 0 \Leftrightarrow (x - y)(x + y) \ge 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x - y \ge 0\\ &x + y \ge 0\\ \end{aligned}\right.$ (1) hoặc $\left\{\begin{aligned}&x - y \le 0\\ &x + y \le 0\\ \end{aligned}\right.$ (2)

Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) và (2).

Vẽ các đường thẳng $d:$ $x + y = 0$ và $d':$ $x - y = 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Xét điểm $M(1 ; 0)$, ta có $(1 ; 0)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ (1) do đó $M(1 ; 0)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1).

Xét điểm $N(-1;0)$, ta có $(-1;0)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ (2) do đó $N(-1;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2).

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $d$ và $d'$.

Hướng dẫn giải:

Gọi $x$ ($x \ge 0$) là số kg loại I cần sản xuất, $y$ ($y \ge 0$) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là $2x + 4y$, thời gian là $30x+15y$ có mức lãi là $40$ $000x + 30$ $000y$.

Theo giả thiết bài toán xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc suy ra $2x+4y \le 200$ hay $x + 2y - 100 \le 0$, $30x + 15y \le 1$ $200$ hay $2x = y - 80 \le 0$.

Bài toán trở thành: Tìm $x$, $y$ thỏa mãn hệ $\left\{\begin{aligned}&x + 2y -100 \le 0\\ &2x + y - 80 \le 0\\ &x \ge 0\\ &y \ge 0\\ \end{aligned}\right.$ (*) sao cho $L(x;y) = 40$ $000x+30$ $000y$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $d:$ $x + 2y - 100 = 0$ và $d':$ $2x + y - 80 = 0$.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tứ giác (phần không tô màu) trên hình vẽ bên dưới.

Giá trị lớn nhất của $L(x;y) = 40$ $000x+30$ $000y$ đạt tại một trong các điểm $(0;0)$, $(40;0)$, $(0;50)$, $(20;40)$.

Ta có $L(0;0) = 0$; $L(40;0) = 1$ $600$ $000$; $L(0;50) = 1$ $500$ $000$; $L(20;40) = 2$ $000$ $000$ suy ra giá trị lớn nhất của $L(x;y)$ là $2$ $000$ $000$ khi $(x;y) = (20;40)$.

Vậy cần sản xuất $20$ kg sản phẩm loại I và $40$ kg sản phẩm loại II để có mức lãi lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là $x$(phút), trên truyền hình là $y$(phút).

Chi phí cho việc này là: $800$ $000x+4$ $000$ $000y$(đồng).

Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa, tức: $800$ $000x+4$ $000$ $000y \le 16$ $000$ $000$ hay $x + 5y - 20 \le 0$.

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: $x \ge 5$, $y \le 4$.

Đồng thời do $x$; $y$ là thời lượng nên $x \ge 0$, $y \ge 0$. Hiệu quả chung của quảng cáo là: $x + 6y$.

Bài toán trở thành: Xác định $x$; $y$ sao cho: $M(x ; y) = x + 6y$ đạt giá trị lớn nhất.

Với các điều kiện $\left\{\begin{aligned}&x + 5y -20 \le 0\\ &x \ge 5\\ &0 \le y \le 4\\\end{aligned}\right.$ (*).

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $d:$ $x + 5y - 20 = 0$; $d':$ $x = 5$ và $d'':$ $y = 4$.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tam giác (phần không tô màu) trên hình vẽ bên dưới.

Giá trị lớn nhất của $M(x; y) = x + 6y$ đạt tại một trong các điểm $(5; 3)$; $(5;0)$; $(20;0)$.

Ta có $M(5;3) = 23$; $M(5;0) = 5$ và $M(20;0) = 20$ suy ra giá trị lớn nhất của $M(x ; y)$ bằng $23$ tại $(5;3)$ tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là $5$ phút và trên truyền hình là $3$ phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.