Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trong chương này chúng ta ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị của hàm số và giải quyết những vấn đề thực tiễn liên quan.
Bài 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
THUẬT NGỮ
Bảng biến thiên
Đồng biến
Nghịch biến
Cực đại
Cực tiểu
Cực trị
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó.
Thể hiện tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên.
Nhận biết tính đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.
Nhận biết điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.
Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí $s(t)$ (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi công thức
$$s(t) = t^3 - 9t^2 + 15t, \ t \ge 0.$$
Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?
Hình 1.1

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
HĐ1. Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Quan sát đồ thị của hàm số $y = x^2$ (H.1.2).
a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?
Hình 1.2
Giả sử $K$ là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $y = f(x)$ là hàm số xác định trên $K$.
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.
Chú ý
• Nếu hàm số đồng biến trên $K$ thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải (H.1.3a). Nếu hàm số nghịch biến trên $K$ thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.1.3b).
a) Hàm số đồng biến trên $(a; b)$.
b) Hàm số nghịch biến trên $(a; b)$.
Hình 1.3
• Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên $K$ còn được gọi chung là đơn điệu trên $K$. Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.
• Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập $K$ thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.
Ví dụ 1. Hình 1.4 là đồ thị của hàm số $y = f(x) = |x|$. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Từ đồ thị suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 0)$.
Luyện tập 1. Hình 1.5 là đồ thị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

HĐ2. Nhận biết mối quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Xét hàm số $y = \begin{cases} -x & \text{nếu } x < -1 \ 1 & \text{nếu } -1 \leq x \leq 1 \ x & \text{nếu } x > 1 \end{cases}$ có đồ thị như Hình 1.6.
Hình 1.6
a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng $(-\infty; -1), (1; +\infty)$. Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng này.
b) Có nhận xét gì về đạo hàm $y'$ và hàm số $y$ trên khoảng $(-1; 1)$?
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$.
a) Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $K$.
b) Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $K$.
Chú ý
Người ta chứng minh được rằng:
Nếu $f'(x) \geq 0$ ($f'(x) \leq 0$) với mọi $x \in K$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của $K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến (nghịch biến) trên khoảng $K$.
Nếu $f'(x) = 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ không đổi trên khoảng $K$.
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^2 - 4x + 2$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Ta có: $y' = 2x - 4$; $y' > 0$ với $x \in (2; +\infty)$; $y' < 0$ với $x \in (-\infty; 2)$.
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$.
Luyện tập 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y = -x^2 + 2x + 3$.
b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số
HĐ3. Xét tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên
Cho hàm số $y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$.
a) Tính đạo hàm $f'(x)$ và tìm các điểm $x$ mà $f'(x) = 0$.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.
c) Nêu kết luận về khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Chú ý. Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f(x)$:
Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm $x_i$ $(i = 1, 2,...)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Sắp xếp các điểm $x_i$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
Nêu kết luận về khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus {1}$.
Ta có: $y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 3$.
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$x$, $-\infty$, $-1$, $1$, $3$, $+\infty$
$y'$, $+$, $0$, $-$, $|$, $-$
$y$, $-\infty$, $\nearrow$, $-4$, $\searrow$, $-\infty$
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1; 1)$ và $(1; 3)$.
Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus {-1}$.
Ta có: $y' = \frac{(x + 1) - (x - 2)}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} > 0$, với mọi $x \neq -1$.
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$x$, $-\infty$, $-1$, $+\infty$
$y'$, $+$, $|$, $+$
$y$, $1$, $\nearrow$, $+\infty$
Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được nói gọn là xét chiều biến thiên của hàm số.
Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

Luyện tập 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2$;
b) $y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}$.
Vận dụng 1. Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc $v(t)$ là đạo hàm của $s(t)$. Hãy tìm vận tốc $v(t)$.
b) Xét dấu của hàm $v(t)$, từ đó suy ra câu trả lời.
Chất điểm chuyển động theo chiều dương khi vận tốc $v(t) > 0$.
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
a) Khái niệm cực trị của hàm số
HD4. Nhận biết khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số
Quan sát đồ thị của hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 4$ (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:
$x$, $-3$, $-2$, $-1$
$y'$, ?, 0, ?
$y$, $-4$, ?, $-2$
$x$, $-1$, 0, 1
$y'$, ?, 0, ?
$y$, $-2$, ?, 0
Hình 1.7
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a; b)$ ($a$ có thể là $-\infty$, $b$ có thể là $+\infty$) và điểm $x_0 \in (a; b)$.
Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)$ và $x \neq x_0$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$.
Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)$ và $x \neq x_0$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$.
Chú ý
Nếu hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f(x)$. Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f(x)$ và kí hiệu là $f_{CD}$ hay $y_{CD}$. Điểm $M_0(x_0; f(x_0))$ được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Nếu hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$. Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$ và kí hiệu là $f_{CT}$ hay $y_{CT}$. Điểm $M_0(x_0; f(x_0))$ được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

Ví dụ 5. Hình 1.8 là đồ thị của hàm số $y = f(x)$. Hãy tìm các cực trị của hàm số.
Giải
Từ đồ thị hàm số, ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$ và $y_{CT} = y(-1) = 2$.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $y_{CD} = y(0) = 3$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và $y_{CT} = y(1) = 2$.
Hình 1.8
Luyện tập 4. Hình 1.9 là đồ thị của hàm số $y = f(x)$. Hãy tìm các cực trị của hàm số.
Hình 1.9
b) Cách tìm cực trị của hàm số
HD5. Nhận biết cách tìm cực trị của hàm số
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 1$.
a) Tính đạo hàm $f'(x)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f'(x)$ bằng 0.
b) Lập bảng biến thiên của hàm số.
c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.
Giả sử hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_0)$ và $(x_0; b)$. Khi đó:
a) Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (a; x_0)$ và $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (x_0; b)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.
b) Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; x_0)$ và $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (x_0; b)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$.

Giải thích vì sao nếu $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số $f(x)$.
Khung kiến thức trên được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau:
$x$, $a$, $x_0$, $b$
$f'(x)$, $-$, $+$
$f(x)$, $\searrow$, $f(x_0)$ (Cực tiểu), $\nearrow$
$x$, $a$, $x_0$, $b$
$f'(x)$, $+$, $-$
$f(x)$, $\nearrow$, $f(x_0)$ (Cực đại), $\searrow$
Chú ý. Các bước tìm cực trị của hàm số $y = f(x)$:
Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f'(x)$ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.
Ví dụ 6. Tìm cực trị của hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 30$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Ta có: $y' = 3x^2 - 12x + 9$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$x$, $-\infty$, 1, 3, $+\infty$
$y'$, $+$, 0, $-$, 0
$y$, $-\infty$, $\nearrow$, 34, $\searrow$
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và $y_{CD} = y(1) = 34$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ và $y_{CT} = y(3) = 30$.
Chú ý. Nếu $f'(x_0) = 0$ nhưng $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số. Chẳng hạn, hàm số $y = f(x) = x^3$ có $f'(x) = 3x^2$, $f'(0) = 0$, nhưng $x = 0$ không phải là điểm cực trị của hàm số (H.1.10).
Hình 1.10

Ví dụ 7. Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 9}{x - 2}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus {2}$.
Ta có: $y' = \frac{(2x - 2)(x - 2) - (x^2 - 2x + 9)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 5}{(x - 2)^2}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 5$.
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$x$, $-\infty$, $-1$, $2$, $5$, $+\infty$
$y'$, $+$, $0$, $-$, $|$
$y$, ↗, $-4$, ↘, $-\infty$
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và $y_{CD} = y(-1) = -4$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 5$ và $y_{CT} = y(5) = 8$.
Ví dụ 8. Tìm cực trị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus {1}$.
Ta có: $y' = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2} < 0$, với mọi $x \neq 1$.
Lập bảng biến thiên của hàm số:
$x$, $-\infty$, $1$, $+\infty$
$y'$, $-$, $|$
$y$, $1$, ↘, $-\infty$
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực trị.
Luyện tập 5. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = x^4 - 3x^2 + 1$;
b) $y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2}$.
Vận dụng 2. Một vật được phóng thẳng đứng lên từ độ cao $2\text{ m}$ với vận tốc ban đầu là $24,5\text{ m/s}$. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức
$$h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2.$$
Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

BÀI TẬP
1.1. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:
a) Đồ thị hàm số $y = x^3 - \frac{3}{2}x^2$ (H.1.11); b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{(x^2 - 4)^2}$ (H.1.12).
Hình 1.11
Hình 1.12
1.2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$; b) $y = -x^3 + 2x^2 - 5x + 3$.
1.3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2x - 1}{x + 2}$; b) $y = \frac{x^2 + x + 4}{x - 3}$.
1.4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt{4 - x^2}$; b) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$.
1.5. Giả sử số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số
$$N(t) = \frac{25t + 10}{t + 5}, t \geq 0,$$
trong đó $N(t)$ được tính bằng nghìn người.
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm $N'(t)$ và $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

1.6. Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f'(x)$ của hàm số $f(x)$ được cho trong Hình 1.13.
a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của $x$ thì $f(x)$ có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.
Hình 1.13
1.7. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$;
b) $y = x^4 - 4x^2 + 2$;
c) $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$;
d) $y = \sqrt{4x - 2x^2}$.
1.8. Cho hàm số $y = f(x) = |x|$.
a) Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ và $\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$.
Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ (xem Hình 1.4).
1.9. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số
$$f(t) = \frac{5,000}{1 + 5e^{-t}}, t \ge 0,$$
trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
THUẬT NGỮ
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước.
Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm trong những trường hợp đơn giản.
Từ một tấm bia carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gấp thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính độ dài cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.
Hình 1.14
1. ĐỊNH NGHĨA
HD1. Nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số $y = f(x) = x^2 - 2x$ với $x \in [0; 3]$, có đồ thị như Hình 1.15.
a) Giá trị lớn nhất $M$ của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là bao nhiêu? Tìm $x_0$ sao cho $f(x_0) = M$.
b) Giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là bao nhiêu? Tìm $x_0$ sao cho $f(x_0) = m$.
Hình 1.15
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$.
Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên tập $D$ nếu $f(x) \le M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = M$.
Kí hiệu $M = \max_{x \in D} f(x)$ hoặc $M = \max_D f(x)$.
Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên tập $D$ nếu $f(x) \ge m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_0 \in D$ sao cho $f(x_0) = m$.
Kí hiệu $m = \min_{x \in D} f(x)$ hoặc $m = \min_D f(x)$.

Chú ý
Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ (mà không nói "trên tập $D$") thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên tập xác định của hàm số.
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập $D$, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $D$ để kết luận.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $[-1; 1]$.
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
Ta có:
$f(x) = \sqrt{1 - x^2} \ge 0$; dấu bằng xảy ra khi $1 - x^2 = 0$, tức là khi $x = -1$ hoặc $x = 1$. Do đó $\min_{[-1; 1]} f(x) = f(-1) = f(1) = 0$.
$f(x) = \sqrt{1 - x^2} \le 1$; dấu bằng xảy ra khi $1 - x^2 = 1$, tức là khi $x = 0$. Do đó $\max_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 1$.
Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên.
Với $x \in (-1; 1)$, ta có: $y' = \frac{(1 - x^2)'}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$:
$x$, $-1$, $0$, $1$
$y'$, $+$ $0$ $-$
$y$, $0$, $1$, $0$
Từ bảng biến thiên, ta được: $\min_{[-1; 1]} f(x) = f(-1) = f(1) = 0$; $\max_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 1$.
Chú ý. Trong thực hành, ta cũng dùng các kí hiệu $\min_D y$, $\max_D y$ để chỉ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số $y = f(x)$ trên tập $D$. Do đó, trong Ví dụ 1 ta có thể viết:
$\min_{[-1; 1]} y = y(-1) = y(1) = 0$; $\max_{[-1; 1]} y = y(0) = 1$.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y = x - 2 + \frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
Giải
Ta có: $y' = 1 - \frac{1}{x^2}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$).
Tính các giới hạn:
$\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \left(x - 2 + \frac{1}{x}\right) = +\infty$; $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \left(x - 2 + \frac{1}{x}\right) = +\infty$.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$:
$x$, 0, 1, $+\infty$
$y'$, – 0 +
$y$, $+\infty$ $\searrow$ 0 $\nearrow$ $+\infty$
Từ bảng biến thiên, ta được: $\min\limits_{(0; +\infty)} y = y(1) = 0$; hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $(0; +\infty)$.
Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giải
Gọi $x$ (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bia. Điều kiện: $0 < x < 30$. Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh $x$ (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng $(60 - 2x)$ (cm) và chiều cao bằng $x$ (cm). Thể tích của chiếc hộp này là
$$V(x) = (60 - 2x)^2 \cdot x = 4x^3 - 240x^2 + 3,600x \text{ (cm}^3\text{)}.$$
Ta có: $V'(x) = 12x^2 - 480x + 3,600$; $V'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 40x + 300 = 0 \Leftrightarrow x = 10$ (thoả mãn điều kiện) hoặc $x = 30$ (loại).
Lập bảng biến thiên:
$x$, 0, 10, 30
$V'(x)$, + 0 –
$V(x)$, 0 $\nearrow$ 16 000 $\searrow$ 0
Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm.
Luyện tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt{2x - x^2}$;
b) $y = -x + \frac{1}{x-1}$ trên khoảng $(1; +\infty)$.
2. CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
HD2. Hình thành các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Xét hàm số $y = f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ trên đoạn $[-1; 2]$, với đồ thị như Hình 1.16.
Hình 1.16
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 2]$.

b) Tính đạo hàm $f'(x)$ và tìm các điểm $x \in (-1; 2)$ mà $f'(x) = 0$.
c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn $[-1; 2]$ và tại các điểm $x$ đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với $\min_{[-1; 2]} f(x)$, số lớn nhất trong các giá trị này với $\max_{[-1; 2]} f(x)$.
Giả sử $y = f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và có đạo hàm trên $(a; b)$, có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $[a; b]$ mà đạo hàm $f'(x)$ bằng $0$.
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$:
Tìm các điểm $x_1, x_2, ..., x_n \in (a; b)$, tại đó $f'(x)$ bằng $0$ hoặc không tồn tại.
Tính $f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(a)$ và $f(b)$.
Tìm số lớn nhất $M$ và số nhỏ nhất $m$ trong các số trên. Ta có:
$$M = \max_{[a; b]} f(x); m = \min_{[a; b]} f(x).$$
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 4]$.
Giải
Ta có: $y' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$ (vì chỉ tìm $x \in (0; 4)$);
$y(0) = 3; y(4) = 195; y(\sqrt{2}) = -1$.
Do đó: $\max_{[0; 4]} y = y(4) = 195; \min_{[0; 4]} y = y(\sqrt{2}) = -1$.
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \cos x$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.
Giải
Ta có: $y' = \cos x - \sin x; y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}$ hoặc $x = \frac{5\pi}{4}$ (vì chỉ tìm $x \in (0; 2\pi)$);
$y(0) = 1; y(2\pi) = 1; y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}; y\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$.
Do đó: $\max_{[0; 2\pi]} y = y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}; \min_{[0; 2\pi]} y = y\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$.
Luyện tập 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 2$ trên đoạn $[0; 2]$;
b) $y = (x + 1)e^{-x}$ trên đoạn $[-1; 1]$.
Vận dụng. Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoá bằng hàm số $N(t) = -t^3 + 12t^2$, $0 \le t \le 12$, trong đó $N$ là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và $t$ là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm $N'(t)$ biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

BÀI TẬP
1.10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = -x^2 + 4x + 3$;
b) $y = x^3 - 2x^2 + 1$ trên $[0; +\infty)$;
c) $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ trên $(1; +\infty)$;
d) $y = \sqrt{4x - 2x^2}$.
1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = x^4 - 2x^2 + 3$;
b) $y = xe^{-x}$;
c) $y = x \ln x$;
d) $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}$.
1.12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = 2x^3 - 6x + 3$ trên đoạn $[-1; 2]$;
b) $y = x^4 - 3x^2 + 2$ trên đoạn $[0; 3]$;
c) $y = x - \sin 2x$ trên đoạn $[0; \pi]$;
d) $y = (x^2 - x)e^x$ trên đoạn $[0; 1]$.
1.13. Trong các hình chữ nhật có chu vi là $24$ cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
1.14. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng $108$ $\text{cm}^2$ như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
Hình 1.17
1.15. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $1000$ $\text{cm}^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá $1,2$ nghìn đồng/$\text{cm}^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá $0,75$ nghìn đồng/$\text{cm}^2$. Tìm các kích thước của bình (bán kính đáy và chiều cao của bình) để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
THUẬT NGỮ
Tiệm cận ngang
Tiệm cận đứng
Tiệm cận xiên
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau $t$ ngày phân rã được cho bởi hàm số
$$y = m(t) = 15e^{-0,012t}.$$
Khối lượng $m(t)$ thay đổi ra sao khi $t \to +\infty$? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?
Hình 1.18
1. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG
HĐ1. Nhận biết đường tiệm cận ngang
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x + 1}{x}$ có đồ thị $(C)$. Với $x > 0$, xét điểm $M(x; f(x))$ thuộc $(C)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $y = 2$ (H.1.19).
a) Tính khoảng cách $MH$.
b) Có nhận xét gì về khoảng cách $MH$ khi $x \to +\infty$?
Hình 1.19
Đường thẳng $y = y_0$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \text{ hoặc } \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0.$$
Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \to +\infty$).
Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \to -\infty$).
Hình 1.20

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{3x - 2}{x + 1}$.
Giải
Ta có: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 3$. Tương tự, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$.
Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 3$.
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$.
Giải
Ta có:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$;
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left( - \sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^2}} \right) = \lim_{x \to -\infty} \left( - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right) = -1$.
Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng $y = 1$ và $y = -1$.
Nhận xét. Đồ thị hàm số $f(x)$ như Hình 1.21.
Hình 1.21
Luyện tập 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x - 1}$.
Vận dụng 1. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
HĐ2. Nhận biết đường tiệm cận đứng
Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x}{x - 1}$ có đồ thị (C). Với $x > 1$, xét điểm $M(x; f(x))$ thuộc (C). Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $x = 1$ (H.1.22).
a) Tính khoảng cách $MH$.
b) Khi $M$ thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách $MH$ dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm $M$?
Hình 1.22
Đường thẳng $x = x_0$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
$$ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty; \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty; \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty; \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty. $$

a) và c). Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x \to x_0^-$).
b) và d). Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x \to x_0^+$).
Hình 1.23
Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{3-x}{x+2}$.
Giải
Ta có: $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} \frac{3-x}{x+2} = +\infty$. Tương tự, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$. Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -2$.
Ví dụ 4. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{x^2+2}{x}$.
Giải
Ta có: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+2}{x} = +\infty$. Tương tự, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$. Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 0$.
Luyện tập 2. Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{2x+1}{x-4}$.
Vận dụng 2. Để loại bỏ $p%$ một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là
$$C(p) = \frac{45p}{100-p} \text{ (triệu đồng), với } 0 \le p < 100.$$
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $C(p)$ và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.

3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN
HD3. Nhận biết đường tiệm cận xiên
Cho hàm số $y = f(x) = x - 1 + \frac{2}{x + 1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $y = x - 1$ như Hình 1.24.
a) Với $x > -1$, xét điểm $M(x; f(x))$ thuộc (C). Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng $y = x - 1$. Có nhận xét gì về khoảng cách $MH$ khi $x \to +\infty$?
b) Chứng tỏ rằng $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 1)] = 0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?
Hình 1.24
Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu
$$ \lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \text{ hoặc } \lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0. $$
Đường thẳng $y = ax + b$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to +\infty$).
Đường thẳng $y = ax + b$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to -\infty$).
Hình 1.25
Ví dụ 5. Cho hàm số $y = f(x) = x + \frac{1}{x + 2}$. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$.
Giải
Ta có: $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x + 2} = 0$. Tương tự, $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = 0$.
Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x$.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0.$

Chú ý. Ta biết rằng nếu đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ thì $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$.
Do đó $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] \cdot \dfrac{1}{x} = 0$ hoặc $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] \cdot \dfrac{1}{x} = 0$.
Từ đây suy ra $a = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ hoặc $a = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x}$.
Khi đó, ta có $b = \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - ax]$ hoặc $b = \lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - ax]$.
Ngược lại, với $a$ và $b$ xác định như trên, đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$. Đặc biệt, nếu $a = 0$ thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Ví dụ 6. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 2}{x + 1}$.
Giải
Ta có:
$$a = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 - x + 2}{x^2 + x} = 1;$$
$$b = \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - x] = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{-2x + 2}{x + 1} = -2.$$
Tương tự, $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1$, $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - x] = -2$.
Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 2$.
Nhận xét. Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm phân thức trong Ví dụ 6, ta viết:
$$y = f(x) = \dfrac{x^2 - x + 2}{x + 1} = x - 2 + \dfrac{4}{x + 1}.$$
Ta có: $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - (x - 2)] = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4}{x + 1} = 0$;
$$\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x) - (x - 2)] = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{4}{x + 1} = 0.$$
Do đó, đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 2$.
Luyện tập 3. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 2}{1 - x}$.

BÀI TẬP
1.16. Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y = f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1}$.
Sử dụng đồ thị này, hãy:
a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\lim_{x \to -\infty} f(x)$; $\lim_{x \to +\infty} f(x)$; $\lim_{x \to 1^-} f(x)$; $\lim_{x \to 1^+} f(x)$.
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
Hình 1.26
1.17. Đường thẳng $x = 1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$ không?
1.18. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = \frac{3 - x}{2x + 1}$;
b) $y = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 2}$.
1.19. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là
$C(x) = 2x + 50$ (triệu đồng).
Khi đó $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số $f(x)$ giảm và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Tính chất này nói lên điều gì?
1.20. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144 \text{ m}^2$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x$ (m).
a) Viết biểu thức tính chu vi $P(x)$ (mét) của mảnh vườn.
b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = P(x)$. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của các kết quả này.

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
THUẬT NGỮ
Chiều biến thiên
Bảng biến thiên
Cực trị
Tiệm cận
Đồ thị
Tâm đối xứng
Trục đối xứng
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Mô tả sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
Khảo sát tập xác định, chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: hàm bậc ba, hàm phân thức hữu tỉ đơn giản.
Nhận biết tính đối xứng (trục đối xứng, tâm đối xứng) của đồ thị các hàm số trên.
Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm là $C(x) = 2x + 45$ (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $y = f(x) = \frac{C(x)}{x}$. Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo $x$ nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số $y = f(x)$ trong Hình 1.27 như thế nào?
Hình 1.27
1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
HD1. Làm quen với việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = x^2 - 4x + 3$. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Tính $y'$ và tìm các điểm tại đó $y' = 0$.
b) Xét dấu $y'$ để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.
c) Tính $\lim_{x \to -\infty} y$, $\lim_{x \to +\infty} y$ và lập bảng biến thiên của hàm số.
d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
Sơ đồ khảo sát hàm số $y = f(x)$:
Tìm tập xác định của hàm số.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
Tính đạo hàm $y'$. Tìm các điểm tại đó $y'$ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
Xét dấu $y'$ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
Tìm cực trị của hàm số.
Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
Lập bảng biến thiên của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Chú ý. Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).
2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Trong mục này, ta sử dụng sơ đồ tổng quát ở Mục 1 để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba.
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 4$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Sự biến thiên:
Ta có: $y' = -3x^2 + 6x$. Vậy $y' = 0$ khi $x = 0$ hoặc $x = 2$.
Trên khoảng $(0; 2)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$, giá trị cực tiểu $y_{CT} = -4$. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$, giá trị cực đại $y_{CD} = 0$.
Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3 \left(-1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^3}\right) = +\infty$; $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3 \left(-1 + \frac{3}{x} - \frac{4}{x^3}\right) = -\infty$.
Bảng biến thiên:
$x$, $-\infty$, $0$, $2$, $+\infty$
$y'$, $-$, $0$, $+$
$y$, $+\infty$, $-4$
Đồ thị (H.1.28):
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0; -4)$.
Ta có $y = 0 \Leftrightarrow -x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow -(x - 2)^2(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 2$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $(-1; 0)$ và $(2; 0)$.
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $(1; -2)$.
Hình 1.28
Chú ý. Đồ thị của hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$):
Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ thoả mãn $y'' = 0$, hay $x = -\frac{b}{3a}$;
Không có tiệm cận.

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Sự biến thiên:
• Ta có: $y' = 3x^2 - 4x + 2$. Vậy $y' > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
• Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.
• Hàm số không có cực trị.
• Giới hạn tại vô cực: $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3 \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3}\right) = -\infty;$
$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3 \left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{1}{x^3}\right) = +\infty.$
• Bảng biến thiên:
x, $-\infty$, $+\infty$
$y'$, $+$
y, $-\infty$, ↗, $+\infty$
Đồ thị (H.1.29):
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0; -1)$.
• Ta có $y = 0 \Leftrightarrow x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow (x - 1)(x^2 - x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(1; 0)$.
• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $\left(\frac{2}{3}; -\frac{7}{27}\right)$.
Hình 1.29
Luyện tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -2x^3 + 3x^2 - 5x$.
3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Trong mục này, ta sử dụng sơ đồ tổng quát ở Mục 1 để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ đơn giản.
a) Hàm số phân thức $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \neq 0$, $ad - bc \neq 0$)
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus {2}$.

Sự biến thiên:
Ta có: $y' = -\frac{3}{(x-2)^2} < 0$ với mọi $x \neq 2$.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
Hàm số không có cực trị.
Tiệm cận: $\lim_{x \to 2^-} y = \lim_{x \to 2^-} \frac{x+1}{x-2} = -\infty$; $\lim_{x \to 2^+} y = \lim_{x \to 2^+} \frac{x+1}{x-2} = +\infty$;
$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x-2} = 1$; $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{x-2} = 1$.
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$.
Bảng biến thiên:
x, $-\infty$, 2, $+\infty$
$y'$, –
y, 1, $\searrow$, $-\infty$, $+\infty$, $\searrow$
Đồ thị (H.1.30):
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0; -\frac{1}{2}\right)$.
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $(-1; 0)$.
Hình 1.30
Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2; 1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Chú ý. Đồ thị của hàm số phân thức $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$):
Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;
Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Luyện tập 2. Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi $f(x)$ là hàm số xác định với $x \ge 1$.
Vận dụng. Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hoà tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau $t$ phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau $t$ phút.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số $f(t)$ với $t \ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo $t$ nhưng không vượt ngưỡng $0,5$ gam/lít.
b) Hàm số phân thức $y = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ ($a \ne 0, p \ne 0$, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus {2}$.
Sự biến thiên: Viết $y = x + 1 + \frac{1}{x - 2}$.
Ta có: $y' = 1 - \frac{1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2}$. Vậy $y' = 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
Trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.
Trên các khoảng $(1; 2)$ và $(2; 3)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ với $y_{CD} = 1$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ với $y_{CT} = 5$.
$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = +\infty$.
Tiệm cận: $\lim_{x \to 2^-} y = \lim_{x \to 2^-} \left(x + 1 + \frac{1}{x - 2}\right) = -\infty$; $\lim_{x \to 2^+} y = \lim_{x \to 2^+} \left(x + 1 + \frac{1}{x - 2}\right) = +\infty$;
$\lim_{x \to +\infty} [y - (x + 1)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x - 2} = 0$; $\lim_{x \to -\infty} [y - (x + 1)] = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x - 2} = 0$.
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 1$.
Bảng biến thiên:
$x$, $-\infty$, $1$, $2$, $3$, $+\infty$
$y'$, $+$, $0$, $-$
$y$, $\nearrow$, $1$, $\searrow$, $-\infty$
$-\infty$
Đồ thị (H.1.31):
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0; \frac{1}{2}\right)$.
Hình 1.31

Ta có $y = 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ hoặc $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0 \right)$ và $\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 0 \right)$.
Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2; 3)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x^2 + x - 2}{x + 1}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus {-1}$.
Sự biến thiên:
Viết $y = x - \frac{2}{x + 1}$, ta có $y' = 1 + \frac{2}{(x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -1$.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Hàm số không có cực trị.
$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x - 2}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = +\infty$.
Tiệm cận: $\lim_{x \to -1^-} y = \lim_{x \to -1^-} \left( x - \frac{2}{x + 1} \right) = +\infty$ ; $\lim_{x \to -1^+} y = \lim_{x \to -1^+} \left( x - \frac{2}{x + 1} \right) = -\infty$ ;
$\lim_{x \to +\infty} [y - x] = \lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{2}{x + 1} \right) = 0$; $\lim_{x \to -\infty} [y - x] = \lim_{x \to -\infty} \left( -\frac{2}{x + 1} \right) = 0$.
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x$.
Bảng biến thiên:
$x$, $-\infty$, $-1$, $+\infty$
$y'$, $+$, $+$
$y$, $-\infty \nearrow +\infty$, $-\infty \nearrow +\infty$
Đồ thị (H.1.32):
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $(0; -2)$.
Ta có $y = 0 \Leftrightarrow \frac{x^2 + x - 2}{x + 1} = 0 \Leftrightarrow x = -2$ hoặc $x = 1$.
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $(-2; 0)$ và $(1; 0)$.
Hình 1.32

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(-1; -1)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Chú ý. Đồ thị của hàm số phân thức $y = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ ($a \neq 0, p \neq 0$, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu):
Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;
Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Luyện tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{-x^2 + 3x - 1}{x - 2}$.
BÀI TẬP
1.21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = -x^3 + 3x + 1$;
b) $y = x^3 + 3x^2 - x - 1$.
1.22. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$;
b) $y = \frac{x + 3}{1 - x}$.
1.23. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2x^2 - x + 4}{x - 1}$;
b) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 3}$.
1.24. Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.
a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn $x$ (ml) từ bình chứa, kí hiệu là $C(x)$.
b) Coi $C(x)$ là hàm số xác định với $x \ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo $x$ nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.
1.25. Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở $R_1$ và $R_2$ thì điện trở tương đương $R$ của mạch điện được tính theo công thức $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
Giả sử một điện trở $8\ \Omega$ được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu biến trở đó được kí hiệu là $x\ (\Omega)$ thì điện trở tương đương $R$ là hàm số của $x$. Vẽ đồ thị của hàm số $y = R(x), x > 0$ và dựa vào đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau:
a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi $x$ tăng?
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá $8\ \Omega$?
Hình 1.33

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn
THUẬT NGỮ
Tốc độ thay đổi tức thời
Bài toán tối ưu hoá
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.
Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?
1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG
Giả sử $y$ là một hàm số của $x$ và ta viết $y = f(x)$. Nếu $x$ thay đổi từ $x_1$ đến $x_2$, thì sự thay đổi của $x$ là
$$\Delta x = x_2 - x_1,$$
và sự thay đổi tương ứng của $y$ là
$$\Delta y = f(x_2) - f(x_1).$$
Tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của $y$ đối với $x$ trên đoạn $[x_1; x_2]$.
Giới hạn $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của $y$ đối với $x$ tại điểm $x = x_1$.
Như vậy, đạo hàm $f'(a)$ là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng $y = f(x)$ đối với $x$ tại điểm $x = a$. Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế:
Nếu $s = s(t)$ là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì $v = s'(t)$ biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật:
$$a(t) = v'(t) = s''(t).$$
Nếu $C = C(t)$ là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm $t$, thì $C'(t)$ là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm $t$.
Nếu $P = P(t)$ là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm $t$, thì $P'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm $t$.

Nếu $C = C(x)$ là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất $x$ đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời $C'(x)$ của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.
Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên $C'(x)$ xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ $x + 1$ (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống).
Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là $h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
Giải
a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là $v = h'(t) = 24,5 - 9,8t$ (m/s).
Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là $v(2) = 24,5 - 9,8 \cdot 2 = 4,9$ (m/s).
b) Vì $h(t)$ là hàm số bậc hai có hệ số $a = -4,9 < 0$ nên $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = -\frac{b}{2a} = \frac{24,5}{2 \cdot 4,9} = 2,5$ (giây). Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là $h(2,5) = 32,625$ (m).
c) Vật chạm đất khi độ cao bằng 0, tức là $h = 2 + 24,5t - 4,9t^2 = 0$, hay $t \approx 5,08$ (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là $v(5,08) = 24,5 - 9,8 \cdot 5,08 = -25,284$ (m/s).
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).
Ví dụ 2. Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hoá bằng hàm số $P(t) = \frac{a}{b + e^{-0,75t}}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của $a$ và $b$. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?
Giải
Ta có: $P'(t) = \frac{0,75ae^{-0,75t}}{(b + e^{-0,75t})^2}$, $t \geq 0$.
Theo đề bài, ta có: $P(0) = 20$ và $P'(0) = 12$. Do đó, ta có hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
\frac{a}{b+1} = 20 \
\frac{0,75a}{(b+1)^2} = 12
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a = 20(b+1) \
\frac{15}{b+1} = 12.
\end{cases}
$$
Giải hệ phương trình này, ta được $a = 25$ và $b = \frac{1}{4}$.

Khi đó, $P'(t) = \frac{18,75e^{-0,75t}}{\left(\frac{1}{4} + e^{-0,75t}\right)^2} > 0, \forall t \ge 0$, tức là số lượng của quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy nhiên, do $\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{25}{\frac{1}{4} + e^{-0,75t}} = 100$ nên số lượng của quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.
Ví dụ 3. Giả sử chi phí $C(x)$ (nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số $C(x) = 30,000 + 300x - 2,5x^2 + 0,125x^3$.
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm $C'(200)$ và giải thích ý nghĩa.
c) So sánh $C'(200)$ với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.
Giải
a) Hàm chi phí biên là $C'(x) = 300 - 5x + 0,375x^2$.
b) Ta có: $C'(200) = 300 - 5 \cdot 200 + 0,375 \cdot 200^2 = 14,300$.
Chi phí biên tại $x = 200$ là 14 300 nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng 14 300 nghìn đồng.
c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là
$C(201) - C(200) = 1,004,372,625 - 990,000 = 14,372,625$ (nghìn đồng).
Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên $C'(200)$ đã tính ở câu b.
Ví dụ 4. Để loại bỏ $x%$ chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là
$$C(x) = \frac{300x}{100 - x} \text{ (triệu đồng)}, 0 \le x < 100.$$
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = C(x)$. Từ đó, hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi $x$ tăng?
b) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?
Giải
Xét hàm số $y = C(x) = \frac{300x}{100 - x}, 0 \le x < 100$.
Ta có:
$y' = \frac{30,000}{(100 - x)^2} > 0$, với mọi $x \in [0; 100)$.
Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng $[0; 100)$.
$\lim_{x \to 100^-} C(x) = \lim_{x \to 100^-} \frac{300x}{100 - x} = +\infty$, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 100$.

Bảng biến thiên:
$x$, 0, 100
$C'(x)$, +
$C(x)$, 0, $\nearrow$, $+\infty$
Đồ thị hàm số như Hình 1.34.
a) Chi phí cần bỏ ra $C(x)$ sẽ luôn tăng khi $x$ tăng.
b) Vì $\lim_{x \to 100^-} C(x) = +\infty$ (hàm số $C(x)$ không xác định khi $x = 100$) nên nhà máy không thể loại bỏ $100%$ chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chẳng nữa).
Luyện tập 1. Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu $P$ (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số
$$P(t) = \frac{25t^2 + 125}{t^2 + 1}, \quad 0 \le t \le 10,$$
trong đó thời gian $t$ được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim.
2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ ĐƠN GIẢN
Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí.
Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số.
Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:
Bước 1. Xác định đại lượng $Q$ mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2. Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là $x$, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo $x$. Khi đó, đại lượng $Q$ sẽ là hàm số của một biến $x$. Tìm tập xác định của hàm số $Q = Q(x)$.
Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số $Q = Q(x)$ bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
Ví dụ 5. Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Giải
Đổi $1 \text{ lít} = 1,000 \text{ cm}^3$.
Gọi $r$ (cm) là bán kính đáy của hình trụ, $h$ (cm) là chiều cao của hình trụ.
Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$.
Do thể tích của hình trụ là $1,000 \text{ cm}^3$ nên ta có: $1,000 = V = \pi r^2 h$, hay $h = \frac{1,000}{\pi r^2}$.
Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: $S = 2\pi r^2 + \frac{2,000}{r}$, $r > 0$.
Ta cần tìm $r$ sao cho $S$ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
$$S' = 4\pi r - \frac{2,000}{r^2} = \frac{4\pi r^3 - 2,000}{r^2}; S' = 0 \Leftrightarrow \pi r^3 = 500 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}.$$
Bảng biến thiên:
$r$, $0$, $\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$, $+\infty$
$S'(r)$, $-$, $0$
$S(r)$, $+\infty$, $\searrow$, $S\left(\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\right)$
Khi đó: $h = \frac{1,000}{\pi r^2} = \frac{1,000}{\pi \sqrt[3]{\frac{250,000}{\pi^2}}} = \frac{100}{\sqrt[3]{250\pi}}$.
Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy $r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5,42$ (cm) và chiều cao $h = \frac{100}{\sqrt[3]{250\pi}} \approx 10,84$ (cm).
Chú ý. Từ lời giải Ví dụ 5 ta thấy: Nếu hình trụ có thể tích $V$ không đổi thì diện tích bề mặt của hình trụ nhỏ nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy.

Luyện tập 2. Anh An chèo thuyền từ điểm $A$ trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm $B$ ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm $C$ rồi chạy bộ đến $B$, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến $B$, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm $D$ nào đó giữa $C$ và $B$ rồi chạy bộ đến $B$. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được $B$ càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
Nhắc lại rằng nếu $C(x)$ là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất $x$ đơn vị của một sản phẩm nào đó, thì chi phí biên là tốc độ thay đổi của $C$ đối với $x$, tức là đạo hàm $C'(x)$.
Gọi $p(x)$ là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán $x$ đơn vị. Khi đó, $p$ được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một hàm giảm của $x$. Nếu $x$ đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là $p(x)$ thì tổng doanh thu là
$$R(x) = x \cdot p(x)$$
và $R(x)$ được gọi là hàm doanh thu. Đạo hàm $R'(x)$ của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra.
Nếu $x$ đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là
$$P(x) = R(x) - C(x)$$
và $P(x)$ được gọi là hàm lợi nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm $P'(x)$ của hàm lợi nhuận.
Ví dụ 6. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giải
Gọi $p$ (nghìn đồng) là giá của mỗi vé; $x$ là số khán giả mua vé. Ta cần xác định hàm cầu $p = p(x)$. Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của $x$ tỉ lệ với tốc độ thay đổi của $p$ nên hàm số $p = p(x)$ là hàm số bậc nhất.
Giá vé $p_1 = 100$ ứng với $x_1 = 27\ 000$ và giá vé $p_2 = 90$ ứng với $x_2 = 27\ 000 + 3\ 000 = 30\ 000$. Do đó, phương trình đường thẳng $p = ax + b$ đi qua hai điểm $(27\ 000; 100)$ và $(30\ 000; 90)$ là $p - 100 = \frac{100 - 90}{27\ 000 - 30\ 000}(x - 27\ 000)$, hay $p - 100 = -\frac{1}{300}(x - 27\ 000)$, tức là $x = -300p + 57\ 000$.
Hàm doanh thu từ tiền bán vé là
$$R(p) = px = p(-300p + 57\ 000) = -300p^2 + 57\ 000p.$$
Ta cần tìm $p$ sao cho $R$ đạt giá trị lớn nhất. Ta có:
$$R'(p) = -600p + 57\ 000; R'(p) = 0 \iff p = 95.$$

Bảng biến thiên:
$p$, 0, 95, $+\infty$
$R'(p)$, + 0 –
$R(p)$, 0 $\nearrow$, 2 707 500 $\searrow$, $-\infty$
Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.
» Ví dụ 7. Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán $x$ chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là
$$P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48;000.$$
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=P(x), x\geq0$. Sử dụng đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau:
a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng công ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn?
b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng hay không?
Giải
Xét hàm số $y=P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48;000, x\geq0$.
Ta có:
$y'=P'(x)=-0,9x^2+72x+1800; y'=0 \Leftrightarrow x=100$ (vì $x\geq0$).
$P'(x)>0$ với mọi $x\in[0;100), P'(x)<0$ với mọi $x\in(100;+\infty)$.
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng $[0;100)$ và nghịch biến trên khoảng $(100;+\infty)$.
Tại $x=100$, hàm số đạt cực đại và $y_{CD}=P(100)=192;000$.
$\lim_{x\to+\infty}P(x)=-\infty$.
Bảng biến thiên:
$x$, 0, 100, $+\infty$
$P'(x)$, + 0 –
$P(x)$, -48 000 $\nearrow$, 192 000 $\searrow$, $-\infty$

Đồ thị hàm số như Hình 1.36 (ở đây ta lấy một đơn vị trên trục hoành bằng 1 000 đơn vị trên trục tung).
Từ đồ thị đã vẽ suy ra:
a) Đồ thị xuất phát từ điểm $(0; -48,000)$, ở phía dưới trục hoành (tức là công ty đang bị lỗ), và giao với trục hoành tại điểm đầu tiên có hoành độ $x = 20$. Do đó, hằng tháng công ty cần sản xuất ít nhất 20 chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn.
b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu được là $y_{CD} = P(100) = 192,000$ (nghìn đồng), tức là 192 triệu đồng, đạt được khi sản xuất đúng 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng.
Khi sản xuất hơn 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng thì càng sản xuất nhiều lợi nhuận càng giảm. Do đó, công ty không nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng.
Vận dụng. Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
a) Tìm hàm cầu.
b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?
c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là $C(x) = 12,000 - 3x$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?
BÀI TẬP
1.26. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y = t^3 - 12t + 3$, $t \geq 0$.
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \leq t \leq 3$.
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

1.27. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hoá nào đó là:
$$C(x) = 23,000 + 50x - 0{,}5x^2 + 0{,}00175x^3.$$
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm $C'(100)$ và giải thích ý nghĩa của nó.
c) So sánh $C'(100)$ với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101.
1.28. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
1.29. Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hoá được cho bởi công thức
$$p = \frac{354}{1 + 0{,}01x}, x \geq 0,$$
trong đó $p$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.
a) Tìm công thức tính $x$ như là hàm số của $p$. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x = x(p)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
– Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán $p$ tăng;
– Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\lim_{p \to 0^+} x(p)$.

Bài tập cuối chương I
A – TRẮC NGHIỆM
1.30. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Nếu $f'(x) \ge 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.
B. Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.
C. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $f'(x) \ge 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$.
D. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$.
1.31. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y = -x^3 + 3x^2 - 9x$.
B. $y = -x^3 + x + 1$.
C. $y = \frac{x-1}{x-2}$.
D. $y = 2x^2 + 3x + 2$.
1.32. Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
A. $y = |x|$.
B. $y = x^4$.
C. $y = -x^3 + x$.
D. $y = \frac{2x-1}{x+1}$.
1.33. Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^2 \ln x$ là
A. $\frac{1}{e}$.
B. $-\frac{1}{e}$.
C. $-\frac{1}{2e}$.
D. $\frac{1}{2e}$.
1.34. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = (x-2)^2 \cdot e^x$ trên đoạn $[1; 3]$ là
A. $0$.
B. $e^3$.
C. $e^4$.
D. $e$.
1.35. Cho hàm số $y = f(x)$ thoả mãn: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$; $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B. Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
C. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
D. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1.36. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x + 2}$ là
A. $y = -2$.
B. $y = 1$.
C. $y = x + 2$.
D. $y = x$.

1.37. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus {1; 3}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
$x$, $-\infty$, $1$, $2$, $3$, $+\infty$
$f'(x)$, $-$, $-$, $0$, $+$, $+$
$f(x)$, $1$, $\searrow$, $-1$, $\searrow$, $5$, $\nearrow$, $+\infty$, $-4$, $\nearrow$
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
B. Đường thẳng $y = -1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
C. Đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
D. Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
1.38. Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số:
A. $y = \frac{x + 2}{x + 1}$.
B. $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$.
C. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$.
D. $y = \frac{x + 3}{1 - x}$.
Hình 1.37
1.39. Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:
A. $y = x - \frac{1}{x + 1}$.
B. $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$.
C. $y = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1}$.
D. $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Hình 1.38
B – TỰ LUẬN
1.40. Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$;
b) $y = x^4 - 2x^2 - 1$;
c) $y = \frac{2x - 1}{3x + 1}$;
d) $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$.

1.41. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2x + 1}{3x - 2}$ trên nửa khoảng $[2; +\infty)$;
b) $y = \sqrt{2 - x^2}$.
1.42. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = \frac{3x - 2}{x + 1}$;
b) $y = \frac{x^2 + 2x - 1}{2x - 1}$.
1.43. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 12$;
b) $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$;
c) $y = \frac{x^2 - 2x}{x - 1}$.
1.44. Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự $f$ (H.1.39). Khoảng cách $p$ từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách $q$ từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức:
$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$.
Hình 1.39
a) Viết công thức tính $q = g(p)$ như một hàm số của biến $p \in (f; +\infty)$.
b) Tính các giới hạn $\lim_{p \to +\infty} g(p)$; $\lim_{p \to f^+} g(p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
c) Lập bảng biến thiên của hàm số $q = g(p)$ trên khoảng $(f; +\infty)$.
1.45. Dân số của một quốc gia sau $t$ (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức:
$N(t) = 100e^{0,012t}$ ($N(t)$ được tính bằng triệu người, $0 \le t \le 50$).
a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
b) Xem $N(t)$ là hàm số của biến số $t$ xác định trên đoạn $[0; 50]$. Xét chiều biến thiên của hàm số $N(t)$ trên đoạn $[0; 50]$.
c) Đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm?
1.46. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ như Hình 1.40. Khoảng cách từ $C$ đến $B$ là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ $A$ đến $B$ với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Hình 1.40

Bài 6. Vectơ trong không gian
Vectơ trong mặt phẳng là một công cụ hữu hiệu để biểu diễn các đối tượng hình học và các đại lượng có hướng trong mặt phẳng. Với mục đích tương tự, người ta cũng đưa ra khái niệm vectơ trong không gian. Khái niệm này là cơ sở để xây dựng toạ độ trong không gian, từ đó cho phép đại số hoá các bài toán hình học không gian và giải quyết chúng bằng các biến đổi đại số.
Tờ tiền 200 Franc của Thuỵ Sĩ gợi lên hình ảnh về một hệ toạ độ trong không gian.
Bài 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
THUẬT NGỮ
Vectơ trong không gian
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết vectơ trong không gian.
Nhận biết và thực hiện các phép toán vectơ trong không gian.
Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống và khác như thế nào với các phép toán vectơ trong mặt phẳng?
Hình 2.1. Các mũi tên chỉ đường gợi lên hình ảnh về vectơ trong không gian.

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
HĐ1. Nhận biết vectơ trong không gian
Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.
a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?
b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?
Hình 2.2
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.
Hình 2.3. Vận tốc gió và vận tốc của máy bay có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian.
Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:
– Vectơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.
– Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{x}$, $\vec{y}$,...
– Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là $|\overrightarrow{AB}|$, độ dài của vectơ $\vec{a}$ được kí hiệu là $|\vec{a}|$.
– Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (H.2.4).
Hình 2.4. Đường thẳng d là giá của vectơ $\vec{a}$.

Ví dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.5).
a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?
b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng $(ABC)$?
c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.
Giải
a) Có ba vectơ là $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$.
b) Trong ba vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ chỉ có hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có giá nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.
c) Vì tứ diện $ABCD$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = 1$.
Hình 2.5
Luyện tập 1. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (H.2.6).
Trong các vectơ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AD'}$:
a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$?
b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?
Hình 2.6
HD2. Hình thành khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng/ngược hướng, hai vectơ bằng nhau trong không gian
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (H.2.7).
a) So sánh độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D'C'}$.
b) Nhận xét về giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D'C'}$.
c) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D'C'}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?
Hình 2.7
Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?
Chú ý. Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:
– Trong không gian, với mỗi điểm $O$ và vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$.

– Các vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như $\overrightarrow{AA}, \overrightarrow{BB}, ...$ gọi là các vecto-không.
– Ta quy ước vecto-không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vecto. Do đó, các vecto-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec{0}$.
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (H.2.8).
a) Trong ba vecto $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{B'B}$, vecto nào bằng vecto $\overrightarrow{AA'}$? Giải thích vì sao.
b) Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Xác định điểm $M'$ sao cho $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AA'}$.
Hình 2.8
Giải
a) Hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ chéo nhau nên hai vecto $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BC}$ không cùng phương. Do đó, hai vecto $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BC}$ không bằng nhau.
Tứ giác $ACC'A'$ là hình bình hành nên $AA' // CC'$ và $AA' = CC'$. Hai vecto $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{CC'}$ có cùng độ dài và cùng hướng nên hai vecto đó bằng nhau.
Tương tự, hai vecto $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{B'B}$ có cùng độ dài và ngược hướng nên hai vecto $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{B'B}$ không bằng nhau.
b) Gọi $M'$ là trung điểm của cạnh $B'C'$. Vì tứ giác $BCC'B'$ là hình bình hành nên $MM' // BB'$ và $MM' = BB'$. Hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $AA' // BB'$ và $AA' = BB'$, suy ra $MM' // AA'$ và $MM' = AA'$. Hai vecto $\overrightarrow{MM'}$ và $\overrightarrow{AA'}$ có cùng độ dài và cùng hướng nên $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AA'}$. Vậy trung điểm của cạnh $B'C'$ là điểm $M'$ cần tìm.
Luyện tập 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.
a) Trong ba vecto $\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DC}$, vecto nào bằng vecto $\overrightarrow{AB}$?
b) Gọi $M$ là một điểm thuộc cạnh $AD$. Xác định điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB}$.
Vận dụng 1. Một toà nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của toà nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vecto biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao.
Hình 2.9

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
a) Tổng của hai vectơ trong không gian
HĐ3. Hình thành khái niệm tổng của hai vectơ trong không gian
Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Lấy điểm $A$ và vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Lấy điểm $A'$ khác $A$ và vẽ các vectơ $\overrightarrow{A'B'} = \vec{a}$, $\overrightarrow{B'C'} = \vec{b}$ (H.2.10).
a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$ và $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}$.
b) Giải thích vì sao $AA'C'C$ là hình bình hành, từ đó suy ra $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A'C'}$.
Bốn điểm $A, B, A', B'$ đồng phẳng và tứ giác $ABB'A'$ là hình bình hành.
Hình 2.10
Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm $A$ bất kì và các điểm $B, C$ sao cho $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$.
Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Hình 2.11
Nhận xét. Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:
Nếu $A, B, C$ là ba điểm bất kì thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$;
Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
Ví dụ 3. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12). Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}$.
Giải
Tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
Do đó $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$.
Tứ giác $ADD'A'$ là hình vuông nên $AD' = \sqrt{AD^2 + DD'^2} = \sqrt{2}$,
suy ra $|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}| = \sqrt{2}$.
Hình 2.12

Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vecto $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C'D'}$.
Chú ý. Tương tự như phép cộng vecto trong mặt phẳng, phép cộng vecto trong không gian có các tính chất sau:
Tính chất giao hoán: Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vecto bất kì thì $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.
Tính chất kết hợp: Nếu $\vec{a},\vec{b}$ và $\vec{c}$ là ba vecto bất kì thì $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.
Tính chất cộng với vecto $\vec{0}$: Nếu $\vec{a}$ là một vecto bất kì thì $\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$.
Từ tính chất kết hợp của phép cộng vecto trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vecto $\vec{a},\vec{b}$ và $\vec{c}$ là $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vecto trong không gian.
Ví dụ 4. Cho tứ diện $ABCD$ (H.2.13). Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.
Giải
Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$.
Từ đó lần lượt áp dụng tính chất của phép cộng vecto trong không gian, ta được:
$$ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}) $$
$$ =\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. $$
Hình 2.13
Luyện tập 4. Cho tứ diện $ABCD$ (H.2.13). Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.
HD4. Thiết lập quy tắc hình hộp
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (H.2.14).
a) Hai vecto $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$ có bằng nhau hay không?
b) Hai vecto $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{AC'}$ có bằng nhau hay không?
Ta có thể áp dụng quy tắc hình bình hành trong không gian.
Hình 2.14
Kết quả sau đây được gọi là quy tắc hình hộp.
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Khi đó, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.
Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vecto có điểm đầu là $B$.
Ví dụ 5. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (H.2.14). Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.
Giải
Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.
Luyện tập 5. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD'}$.

b) Hiệu của hai vecto trong không gian
HĐ5. Nhận biết vecto đối của một vecto trong không gian
Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các vecto biểu diễn hai lực đó?
Hình 2.15
Theo Định luật III Newton, lực tác dụng và phản lực là hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.
Trong không gian, vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto $\vec{a}$ được gọi là vecto đối của vecto $\vec{a}$, kí hiệu là $-\vec{a}$.
Chú ý
Hai vecto là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng $\vec{0}$.
Vecto $\overrightarrow{BA}$ là một vecto đối của vecto $\overrightarrow{AB}$.
Vecto $\vec{0}$ được coi là vecto đối của chính nó.
Tương tự như hiệu của hai vecto trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vecto trong không gian:
Vecto $\vec{a} + (-\vec{b})$ được gọi là hiệu của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ và kí hiệu là $\vec{a} - \vec{b}$.
Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.
Nhận xét. Với ba điểm $O$, $A$, $B$ bất kì trong không gian, ta có $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$.
Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$ (H.2.16). Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CN}$ là hai vecto đối nhau;
b) $\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SA}$.
Hình 2.16

Giải
a) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AB // CD$, suy ra $AM = CN$ và $AM // CN$.
Hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CN}$ có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau.
b) Từ câu a, ta có $\overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{AM}$.
Suy ra $\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SN} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SN} + \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{SA}$.
» Luyện tập 6. Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{DM}$ là hai vectơ đối nhau;
b) $\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SC}$.
» Vận dụng 2. Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị lớn hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó có một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau hay không? Giải thích vì sao.
Tốc độ di chuyển của thang cuốn thường từ 0,5 m/s đến 0,75 m/s. Khi sử dụng thang cuốn cần giữ tay vịn, tránh để trang phục vướng vào thang và chú ý giám sát trẻ nhỏ đi cùng.
3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
» HD6. Hình thành khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$ (H.2.17).
a) Hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B'C'}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?
b) Giải thích vì sao $|\overrightarrow{MN}| = \frac{1}{2}|\overrightarrow{B'C'}|$.
Hình 2.17

Tương tự như tích của một số với một vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về tích của một số với một vectơ trong không gian:
Trong không gian, tích của một số thực $k \ne 0$ với một vectơ $\vec{a} \ne \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\vec{a}$, được xác định như sau:
– Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu $k < 0$;
– Có độ dài bằng $|k| \cdot |\vec{a}|$.
Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.
Hai vectơ $1\vec{a}$ và $\vec{a}$ có bằng nhau không? Hai vectơ $(-1)\vec{a}$ và $-\vec{a}$ có bằng nhau không?
Chú ý
– Quy ước $0\vec{a} = \vec{0}$ và $k\vec{0} = \vec{0}$.
– Nếu $k\vec{a} = \vec{0}$ thì $k = 0$ hoặc $\vec{a} = \vec{0}$.
– Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \ne \vec{0}$) cùng phương là có một số thực $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$.
Ví dụ 7. Trong HĐ6, gọi $O$ là giao điểm của $AB'$ và $A'B$ (H.2.18). Chứng minh rằng $\overrightarrow{CC'} = (-2)\overrightarrow{OM}$.
Giải
Từ đề bài suy ra $O$ là trung điểm của $AB'$, do đó $OM$ là đường trung bình của tam giác $AB'B$. Suy ra $B'B \parallel OM$ và $B'B = 2OM$. Tứ giác $BCC'B'$ là hình bình hành nên $B'B \parallel C'C$ và $B'B = C'C$. Do đó $C'C \parallel OM$ và $C'C = 2OM$. Vì hai vectơ $\overrightarrow{CC'}$ và $\overrightarrow{OM}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{CC'} = (-2)\overrightarrow{OM}$.
Hình 2.18
Luyện tập 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $E, F$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA, SB$ sao cho $SE = \frac{1}{3}SA$; $SF = \frac{1}{3}SB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$.
Chú ý. Tương tự như phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau:
– Tính chất kết hợp: Nếu $h, k$ là hai số thực và $\vec{a}$ là một vectơ bất kì thì $h(k\vec{a}) = (hk)\vec{a}$.
– Tính chất phân phối: Nếu $h, k$ là hai số thực và $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ bất kì thì $(h + k)\vec{a} = h\vec{a} + k\vec{a}$ và $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.
– Tính chất nhân với 1 và -1: Nếu $\vec{a}$ là một vectơ bất kì thì $1\vec{a} = \vec{a}$ và $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$.

Ví dụ 8. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ (H.2.19). Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$.
Giải
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$.
Do đó ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GD}$
$= 3\overrightarrow{AG} + (\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 3\overrightarrow{AG} + \vec{0} = 3\overrightarrow{AG}$.
Hình 2.19
Chú ý. Tương tự như trong mặt phẳng, nếu $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì với điểm $O$ tuỳ ý, ta có
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}.$
Luyện tập 8. Trong Ví dụ 8, gọi $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AG$ sao cho $\overrightarrow{AI} = 3\overrightarrow{IG}$ (H.2.19). Chứng minh rằng
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \vec{0}.$
Điểm $I$ trong Luyện tập 8 được gọi là trọng tâm của tứ diện $ABCD$.
Vận dụng 3. Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khi động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ $900$ km/h lên $920$ km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc $900$ km/h và $920$ km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vector $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Hãy giải thích vì sao $\overrightarrow{F_1} = k\overrightarrow{F_2}$ với $k$ là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của $k$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Hình 2.20
4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR TRONG KHÔNG GIAN
a) Góc giữa hai vector trong không gian
HD7. Hình thành khái niệm góc giữa hai vector trong không gian
Trong không gian, cho hai vector $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy điểm $O$ và vẽ các vector $\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}$. Lấy điểm $O'$ khác $O$ và vẽ các vector $\overrightarrow{O'A'} = \vec{a}, \overrightarrow{O'B'} = \vec{b}$ (H.2.21).
a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}$.
b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác $OAB$ và $O'A'B'$ để giải thích vì sao $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$.

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy một điểm $O$ bất kì và gọi $A$, $B$ là hai điểm sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$. Khi đó, góc $\widehat{AOB}$ ($0^\circ \le \widehat{AOB} \le 180^\circ$) được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$.
Nếu góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $90^\circ$ thì ta nói hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau và kí hiệu là $\vec{a} \perp \vec{b}$.
Hình 2.21
Áp dụng định lí côsin cho tam giác $OAB$, ta có:
$\cos \widehat{AOB} = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2OA \cdot OB}$.
Hình 2.22
Chú ý
Để xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ trong không gian ta có thể lấy điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}$, khi đó $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = \widehat{BAE}$ (H.2.23).
Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ $0^\circ$ đến $180^\circ$.
Hình 2.23
Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác $\vec{0}$), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian.

Ví dụ 9. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (H.2.24). Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
a) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B'C'}$;
b) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A'D'}$.
Giải
a) Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B'C'}$ cùng hướng nên $(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{B'C'}) = 0^\circ$.
b) Vì tứ giác $ADD'A'$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A'D'}$. Do đó $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{A'D'}) = (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = \widehat{CAD}$. Tam giác $ADC$ vuông cân tại $D$ nên $\widehat{CAD} = 45^\circ$, vì vậy $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{A'D'}) = 45^\circ$.
Hình 2.24
Luyện tập 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ (H.2.25). Tính các góc $(\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BC})$ và $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'C'})$.
Hình 2.25
b) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
HD8. Nhận biết khái niệm tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.
Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$, được xác định bởi công thức:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}).$$
Chú ý
Quy ước nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$. Khi đó: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Với mọi vectơ $\vec{a}$, ta có $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.
Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ thì $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ (H.2.26). Tính các tích vô hướng sau:
a) $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC}$;
b) $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AC}$.
Giải
a) Tam giác $SAD$ có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra $\widehat{SAD} = 60^\circ$. Tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, suy ra $(\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{AD}) = \widehat{SAD} = 60^\circ$. Do đó $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AS}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
Hình 2.26

b) Tứ giác $ABCD$ là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là $a$ nên độ dài đường chéo $AC$ là $\sqrt{2}a$.
Tam giác $SAC$ có $SA = SC = a$ và $AC = \sqrt{2}a$ nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$, suy ra $\widehat{SAC} = 45^{\circ}$. Do đó $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AS}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos\widehat{SAC} = a \cdot \sqrt{2}a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2$.
Luyện tập 10. Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{CD}$.
Nhận xét. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian cũng có các tính chất giống như các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng. Cụ thể, nếu $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ là các vectơ trong không gian và $k$ là một số thực thì ta có:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$;
$k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$;
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.
Ví dụ 11. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC$ và $BD$ cùng vuông góc với $AB$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AB, CD$ (H.2.27). Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$;
b) $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$.
Hình 2.27
Giải
a) Ta có: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN}$.
Do đó $2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN})$.
Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$ nên $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \vec{0}$.
Suy ra $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$, hay $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$.
b) Từ giả thiết, ta có $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$.
Vì vậy, $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$.
Luyện tập 11. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{A'C} \cdot \overrightarrow{B'D'} = 0$.
Vận dụng 4. Như đã biết, nếu có một lực $\vec{F}$ tác động vào một vật tại điểm $M$ và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường $MN$ thì công $A$ sinh ra được tính theo công thức $A = \vec{F} \cdot \overrightarrow{MN}$, trong đó lực $F$ có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường $MN$ tính bằng mét và công $A$ tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao.
Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?
Hình 2.28

BÀI TẬP
2.1. Trong không gian, cho ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ phân biệt và đều khác $\vec{0}$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.
b) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.
c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.
d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng.
2.2. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 2$, $AD = 3$ và $AA' = 4$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{BB'}$, $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BD'}$.
2.3. Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ $\vec{a}$) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$).
Hình 2.29
a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ và $\vec{e}$.
b) Giải thích vì sao các vectơ $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ đôi một bằng nhau.
2.4. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{CC'}$;
b) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD'} - \overrightarrow{CC'} = \vec{0}$;
c) $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A'C}$.
2.5. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} = \vec{a}$, $\overrightarrow{AB} = \vec{b}$ và $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$:
a) $\overrightarrow{AB'}$;
b) $\overrightarrow{B'C}$;
c) $\overrightarrow{BC'}$.
2.6. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$.
2.7. Cho hình chóp $S.ABC$. Trên cạnh $SA$, lấy điểm $M$ sao cho $SM = 2AM$. Trên cạnh $BC$, lấy điểm $N$ sao cho $CN = 2BN$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB}$.
2.8. Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện $ABCD$ là một điểm $I$ thoả mãn $\overrightarrow{AI} = 3\overrightarrow{IG}$, ở đó $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8 cm (H.2.30).
Hình 2.30

2.9. Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.
Hình 2.31
2.10. Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{C'C}$;
b) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BC}$;
c) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'A}$.
2.11. Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng có độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là $45^{\circ}$, hãy tính:
a) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;
b) $(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$;
c) $(\vec{a} + \vec{b})^2$.
2.12. Cho tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DC}$;
b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$.
Em có biết?
Việc phân tích (hay biểu diễn) một vectơ trong không gian qua các vectơ cho trước có thể giúp giải thích một số hiện tượng trong cuộc sống. Ví dụ, khi đi bộ, chân tạo một lực tác động $\vec{F}$ lên mặt đất. Theo Định luật III Newton, từ mặt đất có một phản lực tác động ngược trở lại bàn chân là $\vec{F'} = -\vec{F}$. Lực $\vec{F'}$ có thể được phân tích thành $\vec{F'} = \vec{F'_1} + \vec{F'_2}$, ở đó $\vec{F'_1}$ có giá song song với mặt đất và $\vec{F'_2}$ có giá vuông góc với mặt đất (H.2.32). Vì vậy, chỉ có lực $\vec{F'_1}$ tạo nên chuyển động tiến về phía trước của người đi bộ. Có thể nhận thấy rằng nếu độ lớn của lực $\vec{F}$ là không đổi (và khi đó độ lớn của lực $\vec{F'}$ là không đổi) thì độ lớn của lực $\vec{F'_1}$ càng lớn nếu giá của lực $\vec{F}$ càng "gần" vị trí song song với mặt đất, tức là góc giữa giá của lực $\vec{F}$ và mặt đất càng nhỏ.
Nhận xét trên lí giải vì sao trong các cuộc thi điền kinh, khi chuẩn bị xuất phát, các vận động viên thường dùng bàn đạp (nếu được cho phép) để cắm chân phát lực tạo với mặt đất góc nhỏ nhất, từ đó tạo được tốc độ xuất phát lớn nhất (H.2.33).
Hình 2.32
Hình 2.33

Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian
THUẬT NGỮ
Hệ trục toạ độ trong không gian
Toạ độ của điểm trong không gian
Toạ độ của vectơ trong không gian
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết toạ độ của điểm, của vectơ đối với hệ trục toạ độ.
Vận dụng toạ độ của vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là 2 m, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5 m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?
Hình 2.34
1. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HĐ1. Hình thành khái niệm hệ trục toạ độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ có chung gốc $O$ và đôi một vuông góc với nhau. Gọi $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).
a) Gọi tên các mặt phẳng toạ độ có trong Hình 2.35.
b) Các mặt phẳng toạ độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?
Hình 2.35
Trong không gian, ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc với nhau tại gốc $O$ của mỗi trục. Gọi $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$.
Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc $Oxyz$, hay đơn giản là hệ toạ độ $Oxyz$.
Điểm $O$ được gọi là gốc toạ độ.
Các mặt phẳng $(Oxy)$, $(Oyz)$, $(Ozx)$ đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.
Không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ còn được gọi là không gian $Oxyz$.

Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ Oxyz trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các mặt phẳng toạ độ trong hình ảnh đó.
Ví dụ 1. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.36). Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B' và các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ $\overrightarrow{B'A'}, \overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'B}$ không? Giải thích vì sao.
Hình 2.36
Giải
Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh $B'A', B'C'$ và $B'B$ đôi một vuông góc với nhau.
Vì hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên các vectơ $\overrightarrow{B'A'}, \overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'B}$ cùng có điểm đầu là B' và đều có độ dài bằng 1.
Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B' và các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ $\overrightarrow{B'A'}, \overrightarrow{B'C'}, \overrightarrow{B'B}$.
Luyện tập 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt cùng hướng với các vectơ $\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CC'}$ không? Giải thích vì sao.
2. TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
HD2. Hình thành khái niệm toạ độ của điểm trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng toạ độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).
a) Hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ với x, y, z là các số thực.
Hình 2.37
Người ta chứng minh được rằng với điểm M tuỳ ý, bộ ba số (x; y; z) trong HD2 là duy nhất. Ngược lại, nếu $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ thì điểm M xác định duy nhất.
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tuỳ ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ được gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz. Khi đó, ta viết $M = (x; y; z)$ hoặc $M(x; y; z)$, trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.
Hãy tìm toạ độ của gốc O.

Ví dụ 2. Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm M.
Hình 2.38
Giải
Trong Hình 2.38, ABCM.FODE là hình hộp chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra
$\overline{OM} = \overline{OF} + \overline{OD} + \overline{OB} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 3\vec{k}$.
Vì vậy, toạ độ của điểm M là (3; 4; 3).
Luyện tập 2. Tìm toạ độ của điểm N trong Hình 2.39.
Hình 2.39
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh A' trùng với gốc O và các đỉnh D', B', A lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.40). Giả sử đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5) đối với hệ toạ độ Oxyz, hãy tìm toạ độ của các đỉnh D', B', A đối với hệ toạ độ đó.
Giải
Vì đỉnh D' thuộc tia Ox nên hai vectơ $\overline{OD'}$ và $\vec{i}$ cùng phương, suy ra có số thực m sao cho $\overline{OD'} = m\vec{i}$. Tương tự, có các số thực n, p sao cho $\overline{OB'} = n\vec{j}$ và $\overline{OA} = p\vec{k}$. Theo quy tắc hình hộp, suy ra $\overline{OC} = \overline{OD'} + \overline{OB'} + \overline{OA} = m\vec{i} + n\vec{j} + p\vec{k}$, do đó điểm C có toạ độ là (m; n; p).
Mặt khác, đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5) nên $m = 2$, $n = 3$, $p = 5$, tức là $\overline{OD'} = 2\vec{i}$, $\overline{OB'} = 3\vec{j}$ và $\overline{OA} = 5\vec{k}$.
Từ đây suy ra D'(2; 0; 0), B'(0; 3; 0) và A(0; 0; 5).
Hình 2.40
Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm B, D và C'.
Nhận xét. Nếu điểm M có toạ độ (x; y; z) đối với hệ toạ độ Oxyz thì:
– Hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy và Oz có toạ độ lần lượt là (x; 0; 0), (0; y; 0) và (0; 0; z).
– Hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt là (x; y; 0), (0; y; z) và (x; 0; z).
Vận dụng 1. Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ toạ độ phù hợp và xác định toạ độ của chiếc bóng đèn đối với hệ toạ độ đó.
HD3. Hình thành khái niệm toạ độ của vectơ trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a}$ tuỳ ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho $\overline{OM} = \vec{a}$ và giải thích vì sao có bộ ba số (x; y; z) sao cho $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
Hình 2.41

Người ta chứng minh được rằng bộ ba số $(x; y; z)$ trong HĐ3 là duy nhất.
Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a}$ tuỳ ý. Bộ ba số $(x; y; z)$ duy nhất sao cho $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ được gọi là toạ độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ toạ độ $Oxyz$. Khi đó, ta viết $\vec{a} = (x; y; z)$ hoặc $\vec{a}(x; y; z)$.
Nhận xét
– Toạ độ của vectơ $\vec{a}$ cũng là toạ độ của điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$.
– Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$. Khi đó, $\vec{a} = \vec{b}$ nếu và chỉ nếu $\begin{cases} x = x' \ y = y' \ z = z'. \end{cases}$
Ví dụ 4. Trong không gian $Oxyz$, hãy tìm toạ độ của các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ và $\vec{k}$.
Giải
Vì $\vec{i} = 1 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$ nên $\vec{i} = (1; 0; 0)$.
Vì $\vec{j} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$ nên $\vec{j} = (0; 1; 0)$.
Vì $\vec{k} = 0 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} + 1 \cdot \vec{k}$ nên $\vec{k} = (0; 0; 1)$.
Luyện tập 4. Trong không gian $Oxyz$, hãy xác định toạ độ của vectơ $\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k}$.
HĐ4. Thiết lập toạ độ của vectơ theo toạ độ hai đầu mút
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(x; y; z)$ và $N(x'; y'; z')$.
a) Hãy biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ qua các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ và $\vec{k}$.
b) Xác định toạ độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$.
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(x_M; y_M; z_M)$ và $N(x_N; y_N; z_N)$. Khi đó:
$\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)$.
Ví dụ 5. Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $A(1; 0; 2)$, $B(3; 2; 5)$, $C(7; -3; 9)$ và $A'(5; 0; 1)$ như Hình 2.42.
Hình 2.42
a) Tìm toạ độ của $\overrightarrow{AA'}$.
b) Tìm toạ độ của các điểm $B', C'$.
Giải
a) Ta có: $\overrightarrow{AA'} = (x_{A'} - x_A; y_{A'} - y_A; z_{A'} - z_A) = (4; 0; -1)$.
b) Gọi toạ độ của điểm $B'$ là $(x; y; z)$ thì $\overrightarrow{BB'} = (x - 3; y - 2; z - 5)$. Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên $ABB'A'$ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$.

Do đó $\begin{cases} x - 3 = 4 \ y - 2 = 0 \ z - 5 = -1 \end{cases}$ hay $x = 7$, $y = 2$ và $z = 4$. Vậy $B'(7; 2; 4)$.
Lập luận tương tự suy ra $C'(11; -3; 8)$.
Luyện tập 5. Trong Ví dụ 5, xác định toạ độ của các điểm $D$ và $D'$ sao cho $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp.
Vận dụng 2. Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là $890$ km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vector biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Hình 2.43
BÀI TẬP
2.13. Trong không gian Oxyz, cho ba vector $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}$ và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt song song với giá của các vector $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
b) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt trùng với giá của các vector $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
c) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vector $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ lần lượt bằng các vector $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
d) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vector $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ lần lượt cùng phương với các vector $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.
2.14. Hãy mô tả hệ toạ độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng (Oxz).
Hình 2.44

2.15. Trong không gian Oxyz, xác định toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $A(0; 0; 0)$ và $B(4; 2; -5)$;
b) $A(1; -3; 7)$ và $B(1; -3; 7)$;
c) $A(5; 4; 9)$ và $B(-5; 7; 2)$.
2.16. Trong không gian Oxyz, xác định toạ độ của điểm $A$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $A$ trùng với gốc toạ độ;
b) $A$ nằm trên tia Ox và $OA = 2$;
c) $A$ nằm trên tia đối của tia Oy và $OA = 3$.
Hình 2.45
2.17. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đỉnh $A$ trùng với gốc $O$ và các đỉnh $D, B, A'$ có toạ độ lần lượt là $(2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3)$ (H.2.45). Xác định toạ độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.
2.18. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $OABC.O'A'B'C'$ có $A(1; 1; -1), B(0; 3; 0), C'(2; -3; 6)$.
a) Xác định toạ độ của điểm $C$.
b) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
2.19. Trong Vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì toạ độ của nó luôn có dạng $(x; y; 0)$ với $x, y$ là hai số thực nào đó.
Em có biết?
Tên gọi "toạ độ Descartes" được lấy theo tên của nhà toán học người Pháp, René Descartes, nhằm ghi nhớ những đóng góp của ông trong Hình học Giải tích. Như đã biết, toạ độ Descartes xác định duy nhất vị trí của một điểm trong không gian.
Bên cạnh toạ độ Descartes, toạ độ cầu với vai trò tương tự cũng thường được sử dụng và được định nghĩa như sau:
Với mỗi điểm $M$ trong không gian Oxyz, gọi $M'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng (Oxy). Gọi $r$ là khoảng cách từ $O$ đến $M$, gọi $\theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) là số đo của góc lượng giác (trong mặt phẳng (Oxy)) có tia đầu là Ox, tia cuối là $OM'$ và gọi $\phi$ ($0 \le \phi \le \pi$) là số đo của góc tạo bởi hai tia $OM$ và Oz (H.2.46). Bộ ba $(r; \theta; \phi)$ được gọi là toạ độ cầu của điểm $M$, trong đó $r$ là bán kính, $\theta$ là góc phương vị hay góc kinh độ và $\phi$ là góc cực của $M$.

Toạ độ cầu $(r;\theta;\phi)$ và toạ độ Descartes $(x; y; z)$ của $M$ liên hệ với nhau qua các công thức:
$$
\left{ \begin{array}{l} r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ \tan\theta = \frac{y}{x} \ \cos\phi = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \end{array} \right.
\quad \text{và} \quad
\left{ \begin{array}{l} x = r \cos\theta \sin\phi \ y = r \sin\theta \sin\phi \ z = r \cos\phi. \end{array} \right.
$$
Trong một số trường hợp, người ta thay góc cực $\phi$ bởi góc nâng (hay góc vĩ độ) $\varphi = \frac{\pi}{2} - \phi \left( -\frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} \right)$. Khi đó toạ độ cầu $(r; \theta; \varphi)$ và toạ độ Descartes $(x; y; z)$ cũng được liên hệ với nhau bởi các công thức tương tự như trên.
Toạ độ cầu thuận tiện cho việc tính toán trên mặt cầu và trên một số đối tượng có tính đối xứng, do đó, được sử dụng phổ biến trong toán học, vật lí, địa lí và thiên văn. Cơ quan Hàng không và Vũ trụ Hoa Kỳ – NASA (National Aeronautics and Space Administration) sử dụng toạ độ địa hình (Topodetic coordinates), một dạng tương tự của toạ độ cầu, trong việc xác định vị trí của vật thể trong không gian.

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian, thể hiện các phép toán vectơ theo toạ độ, xác định độ dài của một vectơ khi biết toạ độ hai đầu mút.
Vận dụng biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O'A'B'$ như trong Hình 2.47b. Với hệ trục toạ độ $Oxyz$ thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm $A'$ và $B'$ có toạ độ lần lượt là $(240; 450; 0)$ và $(120; 450; 300)$. Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ hay không?
a) b)
Hình 2.47
1. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
HD1. Hình thành biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian
Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 0; 5)$ và $\vec{b} = (1; 3; 9)$.
a) Biểu diễn hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ qua các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.
b) Biểu diễn hai vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và $2\vec{a}$ qua các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, từ đó xác định toạ độ của hai vectơ đó.
Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$. Ta có:
$\vec{a} + \vec{b} = (x + x'; y + y'; z + z')$;
$\vec{a} - \vec{b} = (x - x'; y - y'; z - z')$;
$k\vec{a} = (kx; ky; kz)$ với $k$ là một số thực.
Nếu toạ độ của vectơ $\vec{a}$ là $(x; y; z)$ thì toạ độ của vectơ đối của $\vec{a}$ là gì?

Nhận xét. Vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ cùng phương với vectơ $\vec{b} = (x'; y'; z') \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $\begin{cases} x = kx' \ y = ky' \ z = kz'. \end{cases}$
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; 5)$ và $\vec{b} = (2; 2; 1)$. Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau:
a) $\vec{a} - \vec{b}$;
b) $3\vec{a} + 2\vec{b}$.
Giải
a) Vì $\vec{a} = (2; 1; 5)$ và $\vec{b} = (2; 2; 1)$ nên $\vec{a} - \vec{b} = (2 - 2; 1 - 2; 5 - 1) = (0; -1; 4)$.
b) Ta có $3\vec{a} = (3 \cdot 2; 3 \cdot 1; 3 \cdot 5) = (6; 3; 15)$ và $2\vec{b} = (2 \cdot 2; 2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (4; 4; 2)$.
Do đó $3\vec{a} + 2\vec{b} = (6 + 4; 3 + 4; 15 + 2) = (10; 7; 17)$.
Luyện tập 1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{u} = (1; 8; 6)$, $\vec{v} = (-1; 3; -2)$ và $\vec{w} = (0; 5; 4)$. Tìm toạ độ của vectơ $\vec{u} - 2\vec{v} + \vec{w}$.
HD2. Thiết lập toạ độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$ và $C(x_C; y_C; z_C)$.
a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm toạ độ của M theo toạ độ của A và B.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ của G theo toạ độ của A, B và C.
Ta đã biết:
$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$;
$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$ và $C(x_C; y_C; z_C)$. Khi đó:
– Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $\left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2} \right)$;
– Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là $\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right)$.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(1; 2; 3)$, $B(3; 2; 1)$ và $C(2; -1; 5)$. Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải
Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên toạ độ của điểm M là $\left( \frac{1+3}{2}; \frac{2+2}{2}; \frac{3+1}{2} \right)$, suy ra $M(2; 2; 2)$.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên toạ độ của điểm G là $\left( \frac{1+3+2}{3}; \frac{2+2+(-1)}{3}; \frac{3+1+5}{3} \right)$, suy ra $G(2; 1; 3)$.

Luyện tập 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 9; –1), B(9; 4; 5) và G(3; 0; 4). Tìm toạ độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.
2. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
HĐ3. Thiết lập biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$.
a) Giải thích vì sao $\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$ và $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{i} \cdot \vec{k} = 0$.
b) Sử dụng biểu diễn $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ để tính các tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{i}$, $\vec{a} \cdot \vec{j}$ và $\vec{a} \cdot \vec{k}$.
c) Sử dụng biểu diễn $\vec{b} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$ để tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$ được xác định bởi công thức:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = xx' + yy' + zz'.$$
Nhận xét
– Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu $xx' + yy' + zz' = 0$.
– Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ thì $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
– Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ thì
$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}}.$$
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 4; 2)$ và $\vec{b} = (-4; 1; 0)$.
a) Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và cho biết hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có vuông góc với nhau hay không.
b) Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$.
Giải
a) Ta có: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 0$. Do đó, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau.
b) Độ dài của vectơ $\vec{a}$ là $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21}$.
Luyện tập 3. Trong Ví dụ 3, tính $(\vec{a} + \vec{b})^2$.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử SA = 2, AB = 3, AD = 4. Xét hệ toạ độ Oxyz với O trùng A và các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AS (H.2.48).
a) Xác định toạ độ của các điểm S, A, B, C, D.
b) Tính BD và SC.
c) Tính $(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC})$.
Hình 2.48
Giải
a) Vì A trùng gốc toạ độ nên A(0; 0; 0). Vì B thuộc tia Ox và AB = 3 nên B(3; 0; 0). Vì D thuộc tia Oy và AD = 4 nên D(0; 4; 0). Vì S thuộc tia Oz và AS = 2 nên S(0; 0; 2). Vì hình chiếu của C lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B, D, A nên C(3; 4; 0).

b) Ta có $\overrightarrow{BD} = (0 - 3; 4 - 0; 0 - 0) = (-3; 4; 0)$, suy ra $BD = |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = 5$.
Ta có $\overrightarrow{SC} = (3 - 0; 4 - 0; 0 - 2) = (3; 4; -2)$, suy ra $SC = |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}$.
c) Ta có $\cos(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{SC}|} = \frac{(-3) \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-2)}{5\sqrt{29}} = \frac{7}{5\sqrt{29}}$, suy ra $(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) \approx 74,9^\circ$.
Chú ý. Nếu $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ thì $AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
Đặc biệt, khi $B$ trùng $O$ ta nhận được công thức $OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}$.
Luyện tập 4. Trong không gian Oxyz, cho $A(0; 2; 1)$, $B(3; -2; 1)$ và $C(-2; 5; 7)$.
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính $\widehat{BAC}$.
3. VẬN DỤNG TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN
Ví dụ 5. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(800; 500; 7)$ đến điểm $B(940; 550; 8)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì?
Hình 2.49
Giải (H.2.49)
Gọi $C(x; y; z)$ là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên $AB = 2BC$.
Do đó $\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \left(\frac{940 - 800}{2}; \frac{550 - 500}{2}; \frac{8 - 7}{2}\right) = (70; 25; 0,5)$.
Mặt khác, $\overrightarrow{BC} = (x - 940; y - 550; z - 8)$ nên $\begin{cases} x - 940 = 70 \ y - 550 = 25 \ z - 8 = 0,5. \end{cases}$
Từ đó $\begin{cases} x = 1,010 \ y = 575 \ z = 8,5 \end{cases}$ và vì vậy $C(1,010; 575; 8,5)$.
Vậy toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $(1,010; 575; 8,5)$.

Luyện tập 5. Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định toạ độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm $B$).
Ví dụ 6. Hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.
Giải. Vì điểm $A'$ có toạ độ là $(240; 450; 0)$ nên khoảng cách từ $A'$ đến các trục $Ox$, $Oy$ lần lượt là $450\text{ cm}$ và $240\text{ cm}$. Suy ra $A'A = 450\text{ cm}$ và $A'O' = 240\text{ cm}$. Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{A'B'} = (-120; 0; 300)$, do đó $A'B' = |\overrightarrow{A'B'}| = \sqrt{(-120)^2 + 0^2 + 300^2} = 60\sqrt{29} \approx 323\text{ (cm)}$.
Vì $O'O = A'A = 450\text{ cm}$ và $O'$ nằm trên trục $Oy$ nên toạ độ của điểm $O'$ là $(0; 450; 0)$.
Do đó $\overrightarrow{O'B'} = (120; 0; 300)$ và $O'B' = |\overrightarrow{O'B'}| = \sqrt{120^2 + 0^2 + 300^2} = 60\sqrt{29} \approx 323\text{ (cm)}$.
Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là $450\text{ cm}$, chiều rộng là $240\text{ cm}$, mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là $323\text{ cm}$.
Góc $\alpha$ chính là góc giữa mặt bên của căn nhà gỗ và mặt đất.
Luyện tập 6. Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc $\alpha$.
Ví dụ 7. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2\text{ km}$ về phía nam và $1\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{ km}$ về phía bắc và $1,5\text{ km}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,8\text{ km}$.
Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (H.2.50), đơn vị đo lấy theo kilômét.
a) Tìm toạ độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ toạ độ đã chọn.
b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Hình 2.50
Giải
a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có toạ độ lần lượt là $(2; 1; 0,5)$ và $(-1; -1,5; 0,8)$.
b) Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là
$\sqrt{(-1-2)^2 + (-1,5-1)^2 + (0,8-0,5)^2} = \sqrt{15,34} \approx 3,92\text{ (km)}$.

Luyện tập 7. Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.
BÀI TẬP
2.20. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a} = (3; 1; 2)$, $\vec{b} = (-3; 0; 4)$ và $\vec{c} = (6; -1; 0)$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ và $2\vec{a} - 3\vec{b} - 5\vec{c}$.
b) Tính các tích vô hướng $\vec{a} \cdot (-\vec{b})$ và $(2\vec{a}) \cdot \vec{c}$.
2.21. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $M(-4; 3; 3)$, $N(4; -4; 2)$ và $P(3; 6; -1)$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$, từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP}$, từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.
2.22. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A(1; 0; 1)$, $B(0; -3; 1)$ và $C(4; -1; 4)$.
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$.
c) Tính $\widehat{ABC}$.
2.23. Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.
Hình 2.51
2.24. Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi radar có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là $(25; 15; -10)$ đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.
Hình 2.52

Bài tập cuối chương II
A – TRẮC NGHIỆM
2.25. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{DG} = \vec{0}$.
B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$.
C. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} = 3\overrightarrow{BG}$.
D. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$.
2.26. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CC'$. Vector $\overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.
B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$.
C. $\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$.
D. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.
2.27. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB'}$.
B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.
C. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{AD'}$.
D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$.
2.28. Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM}$ bằng
A. $\frac{a^2}{4}$.
B. $\frac{a^2}{2}$.
C. $\frac{a^2}{3}$.
D. $a^2$.
2.29. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a} = (1; -2; 2)$, $\vec{b} = (-2; 0; 3)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\vec{a} + \vec{b} = (-1; -2; 5)$.
B. $\vec{a} - \vec{b} = (3; -2; -1)$.
C. $3\vec{a} = (3; -2; 2)$.
D. $2\vec{a} + \vec{b} = (0; -4; 7)$.
2.30. Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A(-1; 0; 3)$, $B(2; 1; -1)$ và $C(3; 2; 2)$. Toạ độ của điểm $D$ là
A. $(2; -1; 0)$.
B. $(0; -1; -6)$.
C. $(0; 1; 6)$.
D. $(-2; 1; 0)$.
2.31. Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 0; -1)$, $B(0; -1; 2)$ và $G(2; 1; 0)$. Biết tam giác $ABC$ có trọng tâm là điểm $G$. Toạ độ của điểm $C$ là
A. $(5; 4; -1)$.
B. $(-5; -4; 1)$.
C. $(1; 2; -1)$.
D. $(-1; -2; 1)$.
2.32. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a} = (2; 1; -3)$, $\vec{b} = (-2; -1; 2)$. Tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ bằng
A. $-2$.
B. $-11$.
C. $11$.
D. $2$.
2.33. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a} = (2; 1; -2)$, $\vec{b} = (0; -1; 1)$. Góc giữa hai vector $\vec{a}, \vec{b}$ bằng
A. $60^\circ$.
B. $135^\circ$.
C. $120^\circ$.
D. $45^\circ$.

2.34. Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a}=(-2; 2; 2)$, $\vec{b}=(1; -1; -2)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ bằng
A. $\frac{-2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
D. $\frac{-\sqrt{2}}{3}$.
B – TỰ LUẬN
2.35. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
$$ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}. $$
2.36. Cho tứ diện $ABCD$, lấy hai điểm $M$, $N$ thoả mãn $\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MA} = \vec{0}$ và $\overrightarrow{NC} = 2\overrightarrow{DN}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.
2.37. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BDA'$.
a) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AA'}$.
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm $A$, $G$ và $C'$ thẳng hàng.
2.38. Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A(2; -1; 3)$, $B(1; 1; -1)$ và $C(-1; 0; 2)$.
a) Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
b) Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho đường thẳng $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$.
2.39. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp $OABC.O'A'B'C'$ có $A(2; 3; 1)$, $C(-1; 2; 3)$ và $O'(1; -2; 2)$. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
2.40. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a}=(-2; 1; 2)$, $\vec{b}=(1; 1; -1)$.
a) Xác định toạ độ của $\vec{u}=\vec{a}-2\vec{b}$.
b) Tính độ dài của $\vec{u}$.
c) Tính $\cos(\vec{a}, \vec{b})$.
2.41. Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A(4; 2; -1)$, $B(1; -1; 2)$ và $C(0; -2; 3)$.
a) Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng $AB$.
b) Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CM} = \vec{0}$.
c) Tìm toạ độ điểm $N$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $A$, $B$, $N$ thẳng hàng.
2.42. Hình 2.53 minh hoạ một chiếc đèn được treo cách trần nhà là $0,5$ m, cách hai tường lần lượt là $1,2$ m và $1,6$ m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là $0,4$ m, cách hai tường đều là $1,5$ m.
Hình 2.53
a) Lập một hệ trục toạ độ Oxyz phù hợp và xác định toạ độ của chiếc đèn lúc đầu và sau khi di chuyển.
b) Vị trí mới của chiếc đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Chương III. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
Ở lớp 11, chúng ta đã được giới thiệu về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm. Trong chương này, chúng ta tiếp tục tìm hiểu về các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu dạng này.
"Khả năng làm việc với dữ liệu để xử lí dữ liệu, trích xuất dữ liệu, trực quan hoá dữ liệu, truyền đạt dữ liệu sẽ là kĩ năng cực kì quan trọng trong những thập kỉ tới".
Hal Varian – Trưởng phòng kinh tế của Google
(Theo forbes.com)
Bài 9. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
THUẬT NGỮ
Khoảng biến thiên
Khoảng tứ phân vị
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Hiểu ý nghĩa, vai trò của khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị trong việc đo mức độ phân tán.
Thống kê số ngày trong tháng Sáu năm 2021 và năm 2022 theo nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Hà Nội, người ta thu được bảng sau:
Nhiệt độ (°C), [28; 30), [30; 32), [32; 34), [34; 36), [36; 38), [38; 40)
Số ngày trong tháng 6/2021, 0, 2, 8, 5, 6, 9
Số ngày trong tháng 6/2022, 2, 3, 4, 11, 8, 2
(Theo accuweather.com)
Hỏi tháng Sáu năm nào ở Hà Nội nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn?
Để biết tháng Sáu năm nào ở Hà Nội nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn, ta cần tính và so sánh các số đặc trưng đo mức độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên. Chúng ta cùng tìm hiểu vấn đề này!

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN
HD1. Trong tình huống mở đầu, gọi $x_1, x_2, \dots, x_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc hay không?
b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất $x_i$ có thể nhận là gì?
c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Nhóm, $[a_1; a_2)$, ..., $[a_i; a_{i+1})$, ..., $[a_k; a_{k+1})$
Tần số, $m_1$, ..., $m_i$, ..., $m_k$
Bảng 3.1. Mẫu số liệu ghép nhóm
trong đó các tần số $m_1 > 0$, $m_k > 0$ và $n = m_1 + \dots + m_k$ là cỡ mẫu.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = a_{k+1} - a_1$.
Chỉ ra rằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong Bảng 3.1 lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.
Ý nghĩa. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Ví dụ 1. Thống kê thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 12A, được kết quả như bảng sau:
Thời gian sử dụng (phút), $[0; 10)$, $[10; 30)$, $[30; 60)$, $[60; 90)$
Số học sinh Tổ 1, 2, 4, 3, 1
Số học sinh Tổ 2, 5, 1, 3, 0
Tìm khoảng biến thiên cho thời gian sử dụng mạng xã hội của học sinh mỗi tổ và giải thích ý nghĩa.
Giải
Gọi $R_1, R_2$ tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 và Tổ 2.
Ta có: $R_1 = 90 - 0 = 90$ và $R_2 = 60 - 0 = 60$.
Do $R_1 > R_2$ nên ta có thể kết luận rằng thời gian sử dụng mạng xã hội trong ngày của các bạn Tổ 1 phân tán hơn thời gian sử dụng mạng xã hội của các bạn Tổ 2.

Luyện tập 1. Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút), [25; 30), [30; 35), [35; 40), [40; 45)
Số học sinh, 8, 16, 4, 2
a) Tính khoảng biến thiên $R$ cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất 27 phút và muộn nhất mất 43 phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?
2. KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
HĐ2. Trong tình huống mở đầu, gọi $y_1, y_2, ..., y_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc hay không?
b) Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ cho mẫu số liệu ghép nhóm.
c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.
Tứ phân vị thứ $r$ là
$Q_r = a_p + \frac{\frac{r \cdot n}{4} - (m_1 + ... + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p),$
trong đó $[a_p; a_{p+1})$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$ với $r = 1, 2, 3$.
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng 3.1.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $\Delta_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu đó, tức là $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$.
Ý nghĩa. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Nhận xét. Do khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường và có thể dùng đại lượng này để loại giá trị bất thường.
Ví dụ 2. Thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám X được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút), [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20)
Số bệnh nhân, 3, 12, 15, 8
a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
b) Từ một mẫu số liệu về thời gian chờ khám bệnh của các bệnh nhân tại phòng khám Y người ta tính được khoảng tứ phân vị bằng 9,23. Hỏi trong hai phòng khám X và Y, thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám nào phân tán hơn?

Giải
a) Cỡ mẫu là $n = 3 + 12 + 15 + 8 = 38$. Gọi $x_1, ..., x_{38}$ là thời gian chờ khám bệnh của 38 bệnh nhân này và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{10}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $[5; 10)$ và ta có:
$$Q_1 = 5 + \left[ \frac{\frac{38}{4} - 3}{12} \right] \cdot 5 \approx 7,71.$$
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{29}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $[10; 15)$ và ta có:
$$Q_3 = 10 + \left[ \frac{\frac{3 \cdot 38}{4} - 15}{15} \right] \cdot 5 = 14,5.$$
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1 \approx 14,5 - 7,71 = 6,79$.
b) Do $\Delta_Q = 6,79 < 9,23$ nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám Y phân tán hơn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám X.
» Luyện tập 2. Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:
Thời gian $t$ (phút), Số cuộc gọi
$0 \le t < 1$, 8
$1 \le t < 2$, 17
$2 \le t < 3$, 25
$3 \le t < 4$, 20
$4 \le t < 5$, 10
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
» Vận dụng. Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
BÀI TẬP
3.1. Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 cho kết quả như sau:
101 79 79 78 75 73 68 67 67 63
63 61 60 59 57 55 55 50 47 42.
(Theo premierleague.com)

a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $[40; 50)$.
b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
3.2. Thu nhập theo tháng của người lao động ở hai nhà máy như sau:
Thu nhập (triệu đồng), [5; 8), [8; 11), [11; 14), [14; 17), [17; 20)
Số người của nhà máy A, 20, 35, 45, 35, 20
Số người của nhà máy B, 17, 23, 30, 23, 17
Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy trên. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.
3.3. Bảng sau đây cho biết chiều cao của các học sinh hai lớp 12A và 12B.
Chiều cao (cm), [145; 150), [150; 155), [155; 160), [160; 165), [165; 170), [170; 175)
Số học sinh của lớp 12A, 1, 0, 15, 12, 10, 5
Số học sinh của lớp 12B, 0, 0, 17, 10, 9, 6
a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh hai lớp 12A và 12B.
b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn
THUẬT NGỮ
Phương sai
Độ lệch chuẩn
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.
Hiểu ý nghĩa, vai trò của phương sai, độ lệch chuẩn trong việc đo mức độ phân tán.
Để xác định độ ổn định của một máy đo độ ẩm không khí, người ta dùng máy này để đo 20 lần. Nếu độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đo lớn hơn $0{,}15$ thì người ta sẽ đưa máy đo đi sửa chữa. Trong một lần lấy mẫu, kĩ thuật viên có được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Độ ẩm (%), [52; 52,1), [52,1; 52,2), [52,2; 52,3), [52,3; 52,4), [52,4; 52,5)
Tần số, 1, 5, 8, 4, 2
Liệu có cần đưa máy đo này đi sửa chữa hay không?
1. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
HD1. Trở lại bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi $x_1, \dots, x_{20}$ là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không?
b) Thảo luận và đề xuất ước lượng cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.
Xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi Bảng 3.1.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $s^2$, là một số được tính theo công thức sau:
$$s^2 = \frac{m_1(x_1 - \overline{x})^2 + \dots + m_k(x_k - \overline{x})^2}{n};$$
trong đó, $n = m_1 + \dots + m_k$; $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$ với $i = 1, 2, \dots, k$ là giá trị đại diện cho nhóm $[a_i; a_{i+1})$ và $\overline{x} = \frac{m_1x_1 + \dots + m_kx_k}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $s$, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s = \sqrt{s^2}$.
Nhận xét. Ta có thể tính phương sai theo công thức: $s^2 = \frac{1}{n}(m_1 \cdot x_1^2 + \dots + m_k \cdot x_k^2) - (\overline{x})^2$.
Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Ý nghĩa. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$ \hat{s}^2 = \frac{m_1(x_1 - \bar{x})^2 + ... + m_k(x_k - \bar{x})^2}{n-1}, \hat{s} = \sqrt{\hat{s}^2}. $$
Ví dụ 1. Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả như sau:
Thay đổi cân nặng (kg), $[-1; 0)$, $[0; 1)$, $[1; 2)$, $[2; 3)$, $[3; 4)$
Số người nam, 2, 3, 5, 3, 2
Số người nữ, 2, 7, 12, 7, 2
Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nhận xét về sự thay đổi cân nặng của người nam, người nữ sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng.
Giải
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có:
Giá trị đại diện, $-0{,}5$, $0{,}5$, $1{,}5$, $2{,}5$, $3{,}5$
Số người nam, 2, 3, 5, 3, 2
Số người nữ, 2, 7, 12, 7, 2
Tổng số người nam là: $n_1 = 2 + 3 + 5 + 3 + 2 = 15$.
Tổng số người nữ là: $n_2 = 2 + 7 + 12 + 7 + 2 = 30$.
Thay đổi cân nặng trung bình của người nam là:
$$ \bar{x}_1 = \frac{1}{15}[2 \cdot (-0{,}5) + 3 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 1{,}5 + 3 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 3{,}5] = 1{,}5 \text{ (kg)}. $$
Thay đổi cân nặng trung bình của người nữ là:
$$ \bar{x}_2 = \frac{1}{30}[2 \cdot (-0{,}5) + 7 \cdot 0{,}5 + 12 \cdot 1{,}5 + 7 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 3{,}5] = 1{,}5 \text{ (kg)}. $$
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nam là:
$$ s_1^2 = \frac{1}{15}\left[2 \cdot (-0{,}5)^2 + 3 \cdot 0{,}5^2 + 5 \cdot 1{,}5^2 + 3 \cdot 2{,}5^2 + 2 \cdot 3{,}5^2\right] - 1{,}5^2 \approx 1{,}21^2; s_1 \approx 1{,}21. $$
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nữ là:
$$ s_2^2 = \frac{1}{30}\left[2 \cdot (-0{,}5)^2 + 7 \cdot 0{,}5^2 + 12 \cdot 1{,}5^2 + 7 \cdot 2{,}5^2 + 2 \cdot 3{,}5^2\right] - 1{,}5^2 = 1; s_2 = 1. $$
Như vậy, sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng này, về trung bình sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau. Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ ít hơn so với của nam.

Luyện tập. Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100 mét đã ghi lại kết quả luyện tập như sau:
Thời gian (giây), $[10,2; 10,4)$, $[10,4; 10,6)$, $[10,6; 10,8)$, $[10,8; 11)$
Tần số, 3, 7, 8, 2
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?
Vận dụng. Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.
2. SỬ DỤNG PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN ĐO ĐỘ RỦI RO
Trong tài chính, người ta có nhiều cách để đo độ rủi ro của một phương án đầu tư. Một trong các cách đó là sử dụng độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được theo phương án đầu tư. Độ lệch chuẩn càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro.
Ví dụ 2. Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B. Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 tháng theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau:
Số tiền (triệu đồng), $[5; 10)$, $[10; 15)$, $[15; 20)$, $[20; 25)$, $[25; 30)$
Số tháng đầu tư vào lĩnh vực A, 5, 10, 30, 10, 5
Số tháng đầu tư vào lĩnh vực B, 20, 5, 10, 5, 20
So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào "rủi ro" hơn?
Giải
Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có:
Giá trị đại diện, 7,5, 12,5, 17,5, 22,5, 27,5
Số tháng đầu tư vào lĩnh vực A, 5, 10, 30, 10, 5
Số tháng đầu tư vào lĩnh vực B, 20, 5, 10, 5, 20
Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
$\bar{x}_A = \frac{1}{60}(5 \cdot 7,5 + 10 \cdot 12,5 + 30 \cdot 17,5 + 10 \cdot 22,5 + 5 \cdot 27,5) = 17,5$ (triệu đồng);
$\bar{x}_B = \frac{1}{60}(20 \cdot 7,5 + 5 \cdot 12,5 + 10 \cdot 17,5 + 5 \cdot 22,5 + 20 \cdot 27,5) = 17,5$ (triệu đồng).
Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hằng tháng như nhau. Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hằng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:
$s_A = \sqrt{\frac{1}{60}\left(5 \cdot 7,5^2 + 10 \cdot 12,5^2 + 30 \cdot 17,5^2 + 10 \cdot 22,5^2 + 5 \cdot 27,5^2\right) - (17,5)^2} = 5;$
$s_B = \sqrt{\frac{1}{60}\left(20 \cdot 7,5^2 + 5 \cdot 12,5^2 + 10 \cdot 17,5^2 + 5 \cdot 22,5^2 + 20 \cdot 27,5^2\right) - (17,5)^2} \approx 8,42.$

Như vậy, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền thu được hằng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực B cao hơn khi đầu tư vào lĩnh vực A. Người ta nói rằng, đầu tư vào lĩnh vực B là "rủi ro" hơn.
Ví dụ sau cho thấy không phải lúc nào ta cũng có thể dùng độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được để so sánh độ rủi ro của các phương án đầu tư.
Ví dụ 3. Thống kê lợi nhuận hằng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 tháng của hai nhà đầu tư được cho như sau:
Lợi nhuận, [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60)
Số tháng, 2, 4, 8, 4, 2
Bảng 3.2. Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư nhỏ
Lợi nhuận, [510; 520), [520; 530), [530; 540), [540; 550), [550; 560)
Số tháng, 4, 3, 6, 3, 4
Bảng 3.3. Lợi nhuận theo tháng của nhà đầu tư lớn
Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên. Có nên dựa vào độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro của hai nhà đầu tư này không?
Giải
Chọn điểm đại diện cho các nhóm số liệu ta tính được các số đặc trưng như sau:
Lợi nhuận trung bình một tháng của các nhà đầu tư tương ứng là:
$\overline{x}_A = \frac{1}{20}(2 \cdot 15 + ... + 2 \cdot 55) = 35$ (triệu đồng); $\overline{x}_B = \frac{1}{20}(4 \cdot 515 + ... + 4 \cdot 555) = 535$ (triệu đồng).
Độ lệch chuẩn của lợi nhuận hằng tháng của hai nhà đầu tư tương ứng là:
$s_A = \sqrt{\frac{1}{20}\left(2 \cdot 15^2 + ... + 2 \cdot 55^2\right) - (35)^2} \approx 10,95;$
$s_B = \sqrt{\frac{1}{20}\left(4 \cdot 515^2 + ... + 4 \cdot 555^2\right) - (535)^2} \approx 13,78.$
Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hằng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi nhuận trung bình của hai nhà đầu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này.
Nhận xét. Ta không nên dùng phương sai hay độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro của hai phương án đầu tư khi lợi nhuận trung bình của hai phương án đầu tư này khác nhau rất nhiều.
Em có biết?
Để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu khi đơn vị đo trên hai mẫu số liệu khác nhau hoặc giá trị trung bình của hai mẫu số liệu này khác nhau rất nhiều người ta dùng hệ số biến thiên CV (Coefficient of Variation). Hệ số biến thiên được tính theo công thức:
$$CV = \frac{s}{\overline{x}},$$
trong đó $s$ là độ lệch chuẩn và $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

BÀI TẬP
3.4. Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau:
49,5 51,1 50,8 50,2 48,7 49,6 51,3 51,4 50,1 50,5
48,9 49,3 50,7 48,8 49,8 48,8 51,2 50,4 50,0 51,2
51,4 48,7 51,2 50,6 50,9 49,2 50,7 51,1 48,6 49,6.
a) Thay mỗi dấu "?" bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm số liệu, [48,5; 49), [49; 49,5), [49,5; 50), [50; 50,5), [50,5; 51), [51; 51,5)
Số bao xi măng, ?, ?, ?, ?, ?, ?
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
3.5. Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:
Tuổi thọ (năm), [1,5; 2), [2; 2,5), [2,5; 3), [3; 3,5), [3,5; 4)
Số linh kiện của phân xưởng 1, 4, 9, 13, 8, 6
Số linh kiện của phân xưởng 2, 2, 8, 20, 7, 3
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.
3.6. Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau:
Kết quả đo ($\mu m$), [4,5; 5), [5; 5,5), [5,5; 6), [6; 6,5)
Số học sinh, 3, 8, 7, 2
a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?
3.7. Thời gian chạy tập luyện cự li 100 mét của hai vận động viên A và B được cho trong bảng sau:
Thời gian (giây), [10; 10,3), [10,3; 10,6), [10,6; 10,9), [10,9; 11,2)
Số lần chạy của A, 2, 10, 5, 3
Số lần chạy của B, 3, 7, 9, 6
Dựa trên độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.
3.8. Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?
a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.
b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của 100 cửa hàng bán lẻ và doanh thu của 100 siêu thị.

Bài tập cuối chương III
A – TRẮC NGHIỆM
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời câu hỏi trong các bài tập từ 3.9 đến 3.13.
Một vườn thú ghi lại tuổi thọ của 20 con hổ và thu được kết quả như sau:
Tuổi thọ (năm), $[14; 15)$, $[15; 16)$, $[16; 17)$, $[17; 18)$, $[18; 19)$
Số con hổ, 1, 3, 8, 6, 2
3.9. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
3.10. Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
A. $[14; 15)$.
B. $[15; 16)$.
C. $[16; 17)$.
D. $[17; 18)$.
3.11. Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là
A. $[15; 16)$.
B. $[16; 17)$.
C. $[17; 18)$.
D. $[18; 19)$.
3.12. Số đặc trưng nào không sử dụng thông tin của nhóm số liệu đầu tiên và nhóm số liệu cuối cùng?
A. Khoảng biến thiên.
B. Khoảng tứ phân vị.
C. Phương sai.
D. Độ lệch chuẩn.
3.13. Nếu thay tất cả các tần số trong mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng 4 thì số đặc trưng nào sau đây không thay đổi?
A. Khoảng biến thiên.
B. Khoảng tứ phân vị.
C. Phương sai.
D. Độ lệch chuẩn.

B – TỰ LUẬN
3.14. Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả như sau:
Thời gian (giờ), [5; 5,5), [5,5; 6), [6; 6,5), [6,5; 7), [7; 7,5)
Số chiếc điện thoại (tần số), 2, 8, 15, 10, 5
Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
3.15. Người ta ghi lại tiền lãi của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực A và B cho kết quả như sau:
Tiền lãi (triệu đồng), [5; 10), [10; 15), [15; 20), [20; 25), [25; 30)
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực A, 2, 5, 8, 6, 4
Số nhà đầu tư vào lĩnh vực B, 8, 4, 2, 5, 6
a) Về trung bình, đầu tư vào lĩnh vực nào đem lại tiền lãi cao hơn?
b) Tính độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực này và giải thích ý nghĩa của các số thu được.
3.16. Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông như sau:
Mức xà (cm), [170; 172), [172; 174), [174; 176), [176; 178)
Số vận động viên, 3, 10, 6, 1
a) Tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?
3.17. Trong bài thực hành đo hiệu điện thế của mạch điện, An và Bình đã dùng hai vôn kế khác nhau để đo, mỗi bạn tiến hành đo 10 lần cho kết quả như sau:
Hiệu điện thế đo được (Vôn), [3,85; 3,90), [3,90; 3,95), [3,95; 4,00), [4,00; 4,05)
Số lần An đo, 1, 6, 2, 1
Số lần Bình đo, 1, 3, 4, 2
Tính độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm cho kết quả đo của An và Bình. Từ đó kết luận xem vôn kế của bạn nào cho kết quả đo ổn định hơn.

HOẠT ĐỘNG
THỰC HÀNH TRẢI NGHIỆM
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VỚI PHẦN MỀM GEOGEBRA
MỤC TIÊU
Sử dụng phần mềm GeoGebra để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, đặc biệt đối với những hàm số phức tạp.
Khởi động phần mềm GeoGebra , chọn Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện tính toán đạo hàm, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số; chọn Graphics 2 để vẽ đồ thị của hàm số.
TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
a) Tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Để tính đạo hàm của hàm số trên một khoảng, ta dùng lệnh Derivative(<hàm số>), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.
1 Derivative($x^5 - 4x^3 + 2x - 3$)
→ $5x^4 - 12x^2 + 2$
b) Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Trước tiên, ta dùng lệnh Derivative(<hàm số>) để tính đạo hàm của hàm số trên tập xác định của hàm số đó.
Nhấn nút ở đầu lệnh , lúc này tên của hàm số được phần mềm đặt tự động. Sau đó, để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm xác định, ta thay giá trị của biến vào hàm đạo hàm của hàm số đó, kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.
1 f(x) := Derivative($x^5 - 4x^3 + 2x - 3$)
→ f(x) := $5x^4 - 12x^2 + 2$
2 f(2)
→ 34

c) Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
Để tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số trên một khoảng xác định, ta dùng lệnh Derivative ($<\text{hàm số}>$, $<\text{số cấp}>$), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.
1 $\text{Derivative}(x^5 - 4x^3 + 2x - 3, 3)$
$\rightarrow 60x^2 - 24$
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm cấp $n-1$, kí hiệu là $f^{(n-1)}(x)$ $(n \in \mathbb{N}, n > 1)$. Nếu $f^{(n-1)}(x)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp $n$ của $f(x)$, kí hiệu là $f^{(n)}(x)$.
$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$.
2. TÌM CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (NẾU CÓ) CỦA HÀM SỐ
a) Tìm cực trị của hàm số
Để tìm cực trị của hàm số, ta dùng lệnh Extremum($<\text{hàm số}>$), kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới, dưới dạng toạ độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
1 $\text{Extremum}(2x^3 + 3x^2 - 36x - 10)$
$\rightarrow {(-3, 71), (2, -54)}$
Ngoài ra ta có thể dùng lệnh Extremum($<\text{hàm số}>$, $<\text{giá trị của } a>$, $<\text{giá trị của } b>$) để tìm cực trị của hàm số đã cho trên đoạn $[a; b]$.
1 $\text{Extremum}(x^4 + 2x^2 - 3, -5, 7)$
$\rightarrow (0, -3)$
1 $\text{Extremum}(x^4 + 2x^2 - 3, -5, 0)$
$\rightarrow (?, ?)$
Kết quả bên có nghĩa: hàm số đã cho không có cực trị nào trên khoảng $(-5; 0)$.
Chú ý. Ta có thể quan sát kênh hình để có hình ảnh trực quan bằng cách chọn View $\rightarrow$ Graphics 2.
Để xác định cực trị là cực đại hay cực tiểu, ta có thể dùng đồ thị hàm số để kết luận điểm cực trị là điểm cực đại hay điểm cực tiểu.
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số (trên khoảng, đoạn, tập xác định)
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn $[a;b]$ cho trước, ta dùng lệnh Max($<\text{hàm số}>$, $$, $$); kết quả trả về sẽ là toạ độ của một điểm, tung độ của điểm đó chính là giá trị lớn nhất cần tìm.
1 $\text{Max}(x^4 - 3x^2 + 2, 0, 3)$
$\rightarrow (3, 56)$
Kết quả bên có nghĩa: Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên đoạn $[0; 3]$ là 56, đạt tại $x = 3$.

Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn $[a; b]$ cho trước, ta dùng lệnh Min(<hàm số>, , ); kết quả trả về sẽ là toạ độ của một điểm, tung độ của điểm đó chính là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
1 $\text{Min}(x^4 - 3 x^2 + 2, 0, 3)$
$\rightarrow \left(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{-1}{4}\right)$
3. TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho, ta dùng lệnh Asymptote(<hàm số>); kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.
1 $\text{Asymptote}\left(\frac{x^2 - 4x + 5}{x - 3}\right)$
$\rightarrow {y = x - 1, x = 3}$
Kết quả bên có nghĩa: Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận là tiệm cận xiên $y = x - 1$ và tiệm cận đứng $x = 3$.
1 $\text{Asymptote}\left((x - 2) \cdot \frac{x^2}{x - 2}\right)$
$\rightarrow {}$
Kết quả bên có nghĩa: Đồ thị hàm số đã cho không có đường tiệm cận.
4. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Khởi động GeoGebra và chọn View $\rightarrow$ Graphics 2 để vẽ đồ thị của hàm số. Khi đó, màn hình hiển thị sẵn hệ trục toạ độ dạng lưới ô vuông.
a) Vẽ đồ thị của hàm đa thức (không cần vẽ tiệm cận)
Nhập hàm số vào ô lệnh, màn hình sẽ hiển thị đồ thị của hàm số cần vẽ (H.T.1).
Hình T.1

b) Vẽ đồ thị của hàm phân thức
– Bước 1. Vẽ tiệm cận của đồ thị hàm phân thức bằng cách sử dụng câu lệnh đã được giới thiệu ở Mục 3.
– Bước 2. Vẽ đồ thị hàm phân thức bằng cách nhập hàm số vào ô lệnh (H.T.2).
Hình T.2
Vẽ đồ thị của các hàm số khác:
– Bước 1. Vẽ tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) bằng cách sử dụng câu lệnh đã được giới thiệu ở Mục 3.
– Bước 2. Vẽ đồ thị của hàm số bằng cách nhập hàm số vào ô lệnh (H.T.3).
Hình T.3

Chú ý. Nếu muốn sử dụng giao diện tiếng Việt, sau khi khởi động GeoGebra, chọn Options → Language → Vietnamese/Tiếng Việt. Khi đó, thay vì cú pháp lệnh tiếng Anh như trình bày ở trên, ta dùng cú pháp lệnh tiếng Việt tương ứng như trong bảng sau:
Lệnh, Cú pháp lệnh tiếng Anh, Cú pháp lệnh tiếng Việt
Tính đạo hàm cấp một của hàm số, Derivative(<hàm số>), DaoHam(<hàm số>)
Tính đạo hàm cấp cao của hàm số, Derivative(<hàm số>, <số cấp>), DaoHam(<hàm số>, <số cấp>)
Tìm cực trị của hàm số, Extremum(<hàm số>), CucTri(<hàm số>)
Tìm cực trị của hàm số trên đoạn $[a; b]$, Extremum(<hàm số>, <giá trị của a>, <giá trị của b>), CucTri(<hàm số>, <giá trị của a>, <giá trị của b>)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[a; b]$, Max(<hàm số>, , ), GTLN(<hàm số>, , )
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[a; b]$, Min(<hàm số>, , ), GTNN(<hàm số>, , )
Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, Asymptote(<hàm số>), TiemCan(<hàm số>)
THỰC HÀNH
Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:
Cho các hàm số đa thức sau:
(1) $y = 3x^2 + \sqrt{3}x + 1$;
(2) $y = x^3 - 6x^2 + 9$;
(3) $y = x^4 - 4x^2 + 3$.
a) Tìm đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của các hàm số trên.
b) Tìm tất cả các điểm cực trị của các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Cho các hàm số phân thức hữu tỉ sau:
(1) $y = \frac{x}{x + \sqrt{2}}$;
(2) $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$;
(3) $y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 1}$;
(4) $y = 5x + 1 + \frac{3}{2x - 3}$.
a) Tìm đạo hàm cấp một của các hàm số trên.
b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.
c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35$ trên đoạn $[-4; 4]$;
b) $y = -3x^4 + 4x^2 + \sqrt{2}$ trên đoạn $[-1; 1]$;
c) $y = x + \frac{\sqrt{5}}{x}$ trên đoạn $[1; 10]$;
d) $y = \sin 2x - x$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

Vẽ vectơ tổng của ba vectơ trong không gian bằng phần mềm GeoGebra
MỤC TIÊU
Sử dụng phần mềm GeoGebra, vẽ vectơ tổng của ba vectơ cho trước.
Hoạt động: Lấy bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trong không gian ba chiều và vẽ vectơ $\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$.
Hướng dẫn thực hiện:
Bước 1. Mở phần mềm GeoGebra, vào mục Phối cảnh\Vẽ đồ hoạ 3D (H.T.4).
Hình T.4
Bấm chuột trái, chọn "Hiển thị hệ trục toạ độ" để tắt phần hiển thị hệ trục toạ độ (H.T.5).
Hình T.5
Bước 2. Chọn công cụ "Điểm mới" để vẽ các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trên mặt phẳng màu xám (H.T.6).
Chú ý. Ta có thể di chuyển các điểm bằng cách kích chuột phải vào điểm để hiện ra các mũi tên di chuyển 4 chiều và 2 chiều, sau đó di chuyển điểm theo hướng tương ứng với chiều mũi tên.
Hình T.6
Bước 3. Sử dụng công cụ "Vectơ qua 2 điểm" (H.T.7) để vẽ ba vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$.
Bước 4. Sử dụng công cụ "Đường song song" (H.T.8) để vẽ các đường thẳng song song với các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$.
Hình T.7
Hình T.8

Xác định giao điểm $E$ của hai đường thẳng đó bằng công cụ “Giao điểm của 2 đối tượng”. Vẽ vectơ $\overrightarrow{AE}$ (H.T.9).
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.
Hình T.9
Bước 5. Sử dụng công cụ “Đường thẳng song song” để vẽ các đường thẳng song song với các vectơ $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$ và xác định giao điểm $F$ của hai đường thẳng đó (H.T.10).
Hình T.10
Bước 6. Vẽ vectơ $\overrightarrow{AF}$ (H.T.11).
Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$.
Vậy $\overrightarrow{AF}$ chính là vectơ $\vec{u}$ cần dựng.
Hình T.11

Độ dài gang tay (gang tay của bạn dài bao nhiêu?)
MỤC TIÊU
Thực hiện thu thập và phân tích dữ liệu để so sánh độ dài gang tay của hai nhóm học sinh nam và học sinh nữ trong lớp học.
Độ dài gang tay là một số đo của cơ thể. Các nhà sản xuất găng tay căn cứ vào đó để sản xuất các sản phẩm với kích thước khác nhau dùng trong y tế, thể thao, lao động,... Liệu chiều dài gang tay của nam giới có khác biệt so với nữ giới? Phân bố của chiều dài gang tay như thế nào?
Trong bài này, chúng ta sẽ thực hiện một phân tích nhỏ trong phạm vi lớp học để so sánh chiều dài gang tay của các bạn nam và các bạn nữ. Ta sẽ thu thập dữ liệu trên hai nhóm và so sánh thông qua tính toán những số đo thống kê mô tả đã học.
1. THU THẬP DỮ LIỆU
Chuẩn bị:
• Thước kẻ có vạch chia centimét;
• Bút, giấy.
Thực hiện:
a) Cách đo độ dài gang tay như sau:
– Đặt thước trên bàn;
– Đưa ngón tay cái và ngón tay út của bàn tay phải lên phía trên thước;
– Đặt ngón cái tại điểm đánh dấu 0 cm;
– Dãn ngón út tối đa và xác định vị trí của đầu ngón út trên thước.
b) Thu thập dữ liệu theo mẫu phiếu sau:
Khảo sát về độ dài gang tay
Giới tính của bạn
○ Nữ
○ Nam
Độ dài gang tay (đơn vị: cm) của bạn thuộc phạm vi nào sau đây?
○ [16; 17)
○ [17; 18)
○ [18; 19)
○ [19; 20)
○ [20; 21)
○ [21; 22)
○ [22; 23)
○ [23; 24)
Phiếu khảo sát có thể tạo trên Google biểu mẫu (Google form).

HD1. Lưu dữ liệu thu được vào bảng theo mẫu sau:
Chiều dài gang tay (cm), Nữ, Nam
[16; 17)
[17; 18)
[18; 19), \
[19; 20), \
[20; 21), \
[21; 22)
[22; 23), \
[23; 24)
Bảng T.1. Kết quả đo gang tay của hai nhóm học sinh nữ và nam
2. TÓM TẮT VÀ PHÂN TÍCH DỮ LIỆU
HD2. Lập bảng tần số ghép nhóm cho dữ liệu thu được trên từng nhóm theo mẫu sau đây và minh hoạ bằng biểu đồ tần số.
Chiều dài gang tay (cm), [16; 17), [17; 18), [18; 19), [19; 20), [20; 21), [21; 22), [22; 23), [23; 24)
Số học sinh nam, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?
Số học sinh nữ, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?
HD3. Sử dụng bảng tần số thu được ở HD2, em hãy:
a) Tính độ dài gang tay trung bình của các học sinh nữ, học sinh nam trong nhóm và so sánh.
b) Tính phương sai, độ lệch chuẩn và từ đó tính hệ số biến thiên của độ dài gang tay của hai nhóm học sinh và so sánh.
HD4. Bảng tần số sau đây là dữ liệu thu được trên một nhóm học sinh khối lớp 12. Hãy thực hiện HD3 cho mẫu số liệu này.
Chiều dài gang tay (cm), Số học sinh nữ, Số học sinh nam
[16; 17), 3, 0
[17; 18), 6, 0
[18; 19), 17, 1
[19; 20), 14, 4
[20; 21), 2, 8
[21; 22), 1, 6
[22; 23), 0, 3
[23; 24), 0, 2
Bảng T.2

HĐ5. Góc công nghệ thông tin
Việc tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu được cho trong bảng tần số ghép nhóm có thể thực hiện trên phần mềm bảng tính Excel. Sau đây là minh hoạ việc tính trên mẫu số liệu thu được của học sinh nữ trong bảng T.2 trong HĐ4.
Bước 1. Nhập các đầu mút trái, các đầu mút phải, tần số của các nhóm tương ứng vào các cột. Sau đó xác định điểm đại diện của từng nhóm (H.T.12).
Hình T.12
Bước 2. Nhân tần số với điểm đại diện của từng nhóm và tính tổng bằng cách dùng hàm SUM (H.T.13).
Hình T.13

Bước 3. Tính tổng các tần số và thực hiện tính số trung bình. Kết quả thu được số trung bình bằng 18,71 (H.T.14).
Hình T.14
Bước 4. Để tính phương sai, độ lệch chuẩn, ta lần lượt lấy các điểm đại diện trừ đi số trung bình và bình phương kết quả (H.T.15).
Hình T.15

Bước 5. Lần lượt lấy tần số nhân với các bình phương vừa tạo ra ở Bước 4, rồi lấy tổng các kết quả thu được (H.T.16).
Hình T.16
Bước 6. Tính phương sai, độ lệch chuẩn (H.T.17).
Hình T.17
Kết quả thu được, phương sai của mẫu số liệu là $1,10$ và độ lệch chuẩn là $1,05$.
Em có biết?
Vào những năm 1990, Christopher Donison và David Steinbuhler đã lần đầu tiên giới thiệu loại bàn phím piano 7/8 và 15/16 giúp những người có độ dài gang tay nhỏ có trải nghiệm chơi đàn piano tốt hơn. Hai loại bàn phím này có độ dài mỗi quãng tám là 5,5 và 6,0 (inch) tương ứng (nhỏ hơn so với 6,5 inch của những chiếc đàn phổ biến lúc đó) và chúng được kí hiệu là DS5.5 và DS6.0. Ngoài ra họ còn giới thiệu bàn phím DS5.1 dành cho trẻ em. Việc này đã tạo ra tiêu chuẩn mới cho việc sản xuất bàn phím piano hiện đại.
(Theo dsstandardfoundation.org)