Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
Mục đích của chương này là trình bày các ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Cụ thể, trình bày các ứng dụng của đạo hàm trong việc xét chiều biến thiên, tìm cực trị và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số đơn giản. Bên cạnh đó, chương này cũng giới thiệu: khái niệm và cách tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị hàm số; sơ đồ tổng quát để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số; áp dụng sơ đồ tổng quát vào khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của những hàm số đơn giản, bao gồm hàm số đa thức bậc ba và một số hàm số phân thức đơn giản (hàm số bậc nhất/bậc nhất và hàm số bậc hai/bậc nhất).
Bên cạnh đó, chương này cũng dành riêng một bài học (Bài 5) trình bày một cách hệ thống việc ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số bài toán trong thực tiễn như: tìm tốc độ thay đổi tức thời của một đại lượng (chính là ý nghĩa thực tế của đạo hàm tại một điểm) và sử dụng phương pháp đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu hoá đơn giản (tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận,…; tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí,…).
2 Cấu tạo chương
Tổng thời lượng: 24 tiết
Nội dung:
Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 6 tiết
Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 tiết
Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 4 tiết

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 5 tiết
Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn 4 tiết
Bài tập cuối chương I 2 tiết
3 Một số lưu ý
– Theo tinh thần chung của Chương trình GDPT môn Toán năm 2018 là "tinh giản, thiết thực", một số nội dung lí thuyết mang tính hàn lâm, những bài tập nội dung thuần tuý toán về ứng dụng của đạo hàm được giảm nhẹ. Nói riêng, theo quy định của Chương trình môn Toán năm 2018, SGK Toán 12 mới không đề cập đến các nội dung sau:
Quy tắc sử dụng đạo hàm cấp hai để tìm cực trị của hàm số;
Cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương;
Vấn đề tương giao của các đồ thị hàm số;
Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Bên cạnh việc giảm tính hàn lâm và giảm mức độ của các bài tập thuần tuý toán, một điểm mới trong SGK Toán 12 mới này là những ứng dụng thực tế của đạo hàm được nhấn mạnh. Điều này thể hiện rất rõ trong những bài toán ở Tình huống mở đầu, Vận dụng và những bài tập có nội dung thực tiễn được trình bày trong SGK. Nói riêng, SGK Toán 12 dành riêng một bài học (Bài 5) trình bày một cách hệ thống về ứng dụng của đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn. Đây có thể coi là một điểm mới nổi bật so với các SGK Toán 12 trước đây.
– Để đơn giản và tránh sự nặng nề (không thật cần thiết) cho HS, trong định nghĩa các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f(x)$ trình bày trong SGK Toán 12, chúng tôi không đưa ra điều kiện tường minh tương ứng về tập xác định của hàm số $y = f(x)$, mà các điều kiện này được ngầm chứa trong điều kiện về sự tồn tại các giới hạn tương ứng trong định nghĩa đường tiệm cận. Hơn nữa, vì trong Chương trình và SGK chỉ xét việc tìm tiệm cận (đứng, ngang, xiên) của đồ thị những hàm số đơn giản và quen thuộc, nên trong SGK Toán 12 cũng không trình bày việc tìm tập xác định của hàm số như là một bước bắt buộc để tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số.
– Trong Bài 4 ở SGK Toán 12, sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (và các ví dụ minh hoạ trong sách) được trình bày theo yêu cầu trong Chương trình

môn Toán năm 2018 (xem trang 106 của Chương trình): tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị. Cụ thể, ở đây bảng biến thiên được xem như là bảng tổng hợp ghi kết quả của các bước đã làm trước đó như xét dấu đạo hàm để xét chiều biến thiên (tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến), tìm cực trị (nếu có) của hàm số, tìm các giới hạn đặc biệt của hàm số,... Cách trình bày này giống như trong SGK Toán 12 cũ, bộ Cơ bản.
Tuy nhiên trong thực hành, để thuận lợi hơn cho HS, GV có thể hướng dẫn HS trước đó chỉ cần tìm đạo hàm và tìm các điểm đạo hàm $y'$ bằng 0 hoặc không tồn tại, tìm các giới hạn đặc biệt của hàm số và kết luận về tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có); sau đó lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên thì mới nêu các kết luận tương ứng về chiều biến thiên và cực trị của hàm số.
– Theo yêu cầu quy định trong Chương trình, HS cần nhận biết được tính đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng) của đồ thị các hàm số: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d \left( a \neq 0 \right)$; $y = \frac{ax + b}{cx + d} \left( c \neq 0, ad - bc \neq 0 \right)$ và $y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$ ($a \neq 0, m \neq 0$ và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu). Tuy nhiên, yêu cầu ở đây chỉ dừng ở mức nhận biết: nhìn vào đồ thị hàm số và rút ra nhận xét về tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị, không yêu cầu chứng minh.
Thực chất, về mặt toán học, việc chứng minh chặt chẽ các nhận xét này là khá phức tạp (đặc biệt là về các trục đối xứng của đồ thị hai hàm phân thức ở trên). Sẽ cần đến các phép biến đổi hệ trục toạ độ (phép tịnh tiến, phép quay) với lưu ý rằng đồ thị của các hàm phân thức ở trên chính là các đường hyperbol trong Hình học (và sẽ có phương trình chính tắc trong hệ trục mà hai trục toạ độ chính là hai đường phân giác của các góc tạo bởi các đường tiệm cận của đồ thị).
– Theo yêu cầu của Chương trình mới, HS nên được tham gia tích cực vào các hoạt động trong bài học, từ các hoạt động hình thành kiến thức mới đến các hoạt động luyện tập, vận dụng. SGK đã cố gắng thiết kế các hoạt động tương ứng. GV chỉ nên gợi ý, hướng dẫn cho HS (nếu cần) trong các hoạt động này, hạn chế việc làm thay (hoàn toàn) cho HS.
– Về hình thức dạy học:
Nếu có điều kiện thì GV nên chuẩn bị sẵn slide phần đề bài của các hoạt động. Đến hoạt động nào thì trình chiếu yêu cầu của hoạt động đó lên cho HS theo dõi và

thực hiện. Việc này vừa tiết kiệm thời gian viết bảng, vừa sinh động hơn và làm HS tập trung hơn vào yêu cầu của GV. + Với mỗi hoạt động, có thể cho HS làm việc cá nhân hoặc hoạt động nhóm (tuỳ tính chất của hoạt động). Sau đó, yêu cầu HS trình bày câu trả lời (bằng miệng, giơ bảng trả lời, viết bảng). GV nhận xét và tổng kết, đặc biệt lưu ý phương pháp giải và các sai lầm thường mắc. + Với các ví dụ đơn giản trong bài học, GV có thể để HS tự làm và chỉ gợi ý khi cần. Tuy nhiên, với các ví dụ phức tạp hơn, thì có thể xử lí tuỳ theo trình độ chung của HS trong lớp. Nếu ở lớp HS khá, GV chỉ cần phân tích đề bài, gợi ý để HS có thể tự làm sau đó sẽ nhận xét và tổng kết phương pháp giải. Còn ở lớp với trình độ chung của HS không tốt, GV có thể chữa mẫu và phân tích kĩ cách giải (theo lược đồ 4
bước của Polya). Sau đó yêu cầu HS làm các bài tập tương tự trong phần Luyện tập, Vận dụng, GV quan sát và trợ giúp HS khi cần. - Trong mỗi bài học, các gợi ý dạy học và dự kiến thời gian tương ứng cho từng cấu
phần của bài học chỉ là một phương án đề xuất. GV có thể dựa trên kinh nghiệm giảng dạy của mình và trình độ chung của HS trong lớp để có thể có phương án hợp lí hơn, miễn là đảm bảo mục tiêu của bài học và HS được tham gia tích cực vào các hoạt động.
B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (6 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa
vào dấu đạo hàm cấp một của nó. - ThêѴ hiện được tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên. - Nhận biết được tính đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc thông qua
hình ảnh hình học của đồ thị hàm số. - Nhận biết được điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên
hoặc thông qua hình ảnh hình học của đồ thị hàm số.

2. Về năng lực, phẩm chất – Rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua việc

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số HĐ1. Nhận biết tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ 1 Luyện tập 1 Cho HS nhận đồng biế

$hàm số thông qua dấu của đạo hàm cấp một., HD. Ta có: $y' = -2x + 2$. Nhận xét: $y' > 0$ với mọi $x \in (-\infty;1)$; $y' < 0$ với mọi $x \in (1;+\infty)$. Do đ$

$Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-5)$ và $(-1;+\infty)$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-5;-1)$. b) Tập xác định của hàm$

Tiết 3 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Khái niệm cực trị của hàm số HD4. Nhận biết khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số

Tiết 4 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN b) Cách tìm cực trị của hàm số HD5. Nhận biết cách tìm cực trị của hàm số, Cho HS làm quen với các bước xét

$Lập bảng biến thiên của hàm số: $x$, $-\infty$, $-\frac{\sqrt{6}}{2}$, $0$, $\frac{\sqrt{6}}{2}$, $+\infty$ $y'$, $-$, $0$, $+$, $0$ $y$, $+\infty$, $\searrow \$

$Vận dụng 2, Vận dụng tổng hợp kiến thức, kĩ năng trong bài vào giải quyết tình huống thực tế., HD. Ta có $h'(t) = 24{,}5 - 9{,}8t$; $h'(t) = 0 \Leftrightarrow t$

$IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 1.1. a) Từ đồ thị hàm số suy ra: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(1;+\infty)$. Hàm số nghịch biến trên khoảng$

$Lập bảng biến thiên của hàm số: $x$, $-\infty$, $-1$, $3$, $7$, $+\infty$ $y'$, $+$, $0$, $-$, $-$, $0$, $+$ $y$, $\nearrow$, $-1$, $\searrow$, $+\infty$, $\swa$

$Lập bảng biến thiên của hàm số: $x$, $-\infty$, $-1$, $1$, $+\infty$ $y'$, $-$, $0$, $+$ $y$, $0$, $\searrow$, $-\frac{1}{2}$, $\nearrow$ Từ bảng biến thiên, ta$

$Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và $y_{CD} = y(1) = 0$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và $y_{CT} = y(2) = -1$. b) Tập xác định của h$

$d) Tập xác định của hàm số là $[0;2]$. Ta có: $y' = \frac{{4 - 4x}}{{2\sqrt {4x - 2{x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{\sqrt {4x - 2{x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Nhận biết được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên mộ

1. ĐỊNH NGHĨA HD1. Nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, Cho HS nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.,

$$$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \left( -x + \frac{1}{x-1} \right) = -\infty.$$ Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $(1;+\infty)$: $x$, 1,$

Luyện tập 2, Củng cố kĩ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn., HS tự làm tại lớp. HD. a) Ta có: $y' = 6x^2 - 6x + 5 > 0$ với m

– Vận dụng cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải quyết các bài toán thực tiễn: Bài tập 1.13, 1.14, 1.15. Tuỳ tình hình thực tế của lớ

$c) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus{1}$. Ta có: $y'=\frac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x+3)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$; $y'=0\Leftrightarrow x=1-\s$

$1.11. a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Ta có: $y' = 4x^3 - 4x$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$, $x = 1$ hoặc $x = -1$. Lập bảng biến thiên của hàm số$

$$x$, $0$, $\dfrac{1}{e}$, $+\infty$ $y'$, $-$, $0$ $y$, $0$, $\searrow$ $\dfrac{-1}{e}$ $\nearrow$ Từ bảng biến thiên ta được: $\underset{(0;+\infty)}{\min} y =$

$Ta có: $y(0) = 0; y(\pi) = \pi; y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}; y\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}$

$Ta có $V' = -\frac{3}{4}x^2 + 27 = 0 \Leftrightarrow x = 6$. $x$, $0$, $6$, $\sqrt{108}$ $V'$, $+$, $0$ $V$, $0$, $V(6)$ Vậy với $x = 6$ cm, $h = 3$ cm thì thể$

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Nhận biết hình ảnh hình học của đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng, đường ti

– Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là hình ảnh hình học của giới hạn tại vô cực/giới hạn vô cực của hàm số. Nội dung giới hạn của hàm số đã được học ở Chương tr

Ví dụ 1, Thực hành tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số., GV nhắc lại cách tính giới hạn tại vô cực của hàm số phân thức hữu tỉ. HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV.
Ví dụ 2, Thực hành tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trong trường hợp $\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq \lim_{x \to -\infty} f(x)$., GV lưu ý cách đưa một đại lượng vào bên trong căn bậc hai. Từ đó tính hai giới hạn $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Nhấn mạnh trong trường hợp hai giới hạn này khác nhau, đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Luyện tập 1, Củng cố kĩ năng tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số., HS tự làm tại lớp. GV lưu ý HS thực hiện tương tự như Ví dụ 1. HD. Ta có: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$. Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận ngang là $y = 2$.
Vận dụng 1, Giải bài toán trong tình huống mở đầu., HS tự làm tại lớp. HD. Ta có $\lim_{t \to +\infty} m(t) = \lim_{t \to +\infty} 15e^{-0{,}012t} = 0$. Đồ thị của hàm khối lượng $m(t)$ "tiệm cận" đến đường thẳng $y = 0$, tức là khối lượng của chất phóng xạ giảm dần về 0 khi thời gian tăng lên vô cùng.
Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG
HĐ2. Nhận biết đường tiệm cận đứng, Giúp HS hình thành khái niệm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số., HS thực hiện các yêu cầu trong HĐ2. GV ghi bảng hoặc trình chiếu nội dung trong khung kiến thức. Lưu ý HS đường tiệm cận đứng là hình ảnh hình học của giới hạn vô cực.

Ví dụ 3, Thực hành tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số., Lưu ý HS về quy tắc tính giới hạn vô cực của thương hai hàm số (HS đã học ở lớp 11) ở đó quan tâm đến g

Tiết 3 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN HD3. Nhận biết đường tiệm cận xiên, Giúp HS hình thành khái niệm đường tiệm cận xiên

$| | | Cách 2: Chia đa thức $f(x) = -x + 3 - \frac{1}{1-x}$. Khi đó $\lim_{x \to +\infty}[f(x) - (-x+3)] = 0$. Vậy $y = -x+3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.$

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Mô tả sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số (tìm tập xác định, xét chi

2. Về năng lực, phẩm chất Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề toán học và mô hình hoá toán học thông qua các bài toán thực tiễn liên quan đến khảo sát và vẽ đồ

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Nêu vấn đề, Giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội dung bài học., GV nêu bài toán thực tế về chi phí sản xuất để kích thích nhu cầu học tập của HS.
1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
HĐ1. Làm quen với việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, Giúp HS hình thành sơ đồ khảo sát hàm số nói chung., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu, dựa vào kiến thức đã biết về khoảng đơn điệu, cực trị và bảng biến thiên của hàm số.
Lập sơ đồ khảo sát hàm số, Trình bày các bước khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số., GV ghi lên bảng hoặc trình chiếu sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số nói chung. Ngoài ra, thông qua ví dụ trong HĐ1, GV lưu ý việc tìm các điểm đặc biệt của đồ thị bao gồm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
Luyện tập, GV có thể cho HS luyện tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$ (cả hai trường hợp $a > 0$ và $a < 0$).
Tổng kết, Dành cho dự phòng. GV tổng kết các nội dung đã học., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học.
Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Ví dụ 1, Thực hành khảo sát hàm số đa thức bậc ba trong trường hợp hàm số có cực trị., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. GV lưu ý HS về tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba.
Ví dụ 2, Thực hành khảo sát hàm số đa thức bậc ba trong trường hợp hàm số không có cực trị., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV.

$Luyện tập 1 Củng cố kĩ năng khảo sát hàm số đa thức bậc ba. HS tự làm tại lớp. HD. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}$. Sự biến thiên: Ta có: $y' = -6x^2 + 6x$

Tổng kết, Dành cho dự phòng. GV tổng kết các nội dung đã học., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học. Tiết 3 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆ

trung bình giảm nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm. Ngoài ra, khi $x$ càng lớn thì chi phí trung bình càng gần với 2 triệu đồng. Vận dụng, Mô hình hoá một

$c) Do $f(t)$ là hàm tăng nên nồng độ chất khử trùng tăng theo thời gian. Tuy nhiên, do $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = 0{,}5$ nên nồng độ này không vượt ngư$

$Sự biến thiên: Ta có $y = -x + 1 + \frac{1}{x-2}$. $y' = -1 - \frac{1}{(x-2)^2} < 0$ với mọi $x \neq 2$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 2)$ và $$

Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng kết lại nội dung của tiết học, dặn dò công việc về nhà., GV sử dụng tuỳ tình hình thực tế của lớp học. Tiết 5. Chữa bài tập 3.

$b) Ta có: $y' = 3x^2 + 6x - 1$. Do đó $y' = 0$ khi $x = x_1 = -1 - \frac{2}{\sqrt{3}}$ hoặc $x = x_2 = -1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$. Hàm số đồng biến trên từng khoả$

$Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$, có tâm đối xứng là điểm $(-1;2)$. 1.22. a) Ta có: $y' = \frac{1}{{(x + 1)^2}} > 0$ với mọi $x \ne -1$. Hà$

$Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;3)$, cắt trục hoành tại điểm $(-3;0)$. Điểm $(1;-1)$ là tâm đối xứng của đồ thị. 1.23. a) Viết $y = 2x + 1 + \frac{5}{x$

$Bảng biến thiên: $x$, $-\infty$, $-5$, $-3$, $-1$, $+\infty$ $y'$, $+$, $0$, $-$, $\parallel$ $y$, $\nearrow -8$ $\searrow$, $-\infty$, $\parallel$ 1.24. a) Ta$

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quy

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học Tiết 1, 2 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Nêu vấn đề, Giúp HS có hứng thú và gợi động cơ với nội dung

Chữa bài tập, Chữa một số bài tập cuối bài học liên quan đến nội dung mục này, Cho HS chữa các bài tập 1.26 và 1.27 tại lớp. Tổng kết, Dành cho dự phòng, tổng k

$chạy bộ là: $t_{2} = \frac{S_{2}}{8} = \frac{8 - x}{8}$. Do đó tổng thời gian đi từ A đến B của anh An là $t = t_{1} + t_{2} = \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{6} + \fra$

| Vận dụng | Vận dụng tổng hợp kiến thức, kĩ năng trong bài vào giải quyết tình huống thực tế. | HS tự làm tại lớp. HD. a) Gọi $p$ (triệu đồng) là giá của mỗi c

$| | | Bảng biến thiên: $x$, 0, 2 200, $+\infty$ $P'(x)$, +, 0, – $P(x)$, 0, 12 200, $-\infty$ Với $x = 2,200$ thì $p = 8$. Vậy với giá bán là 8 triệu đồng thì l$

c) Từ $t = 0$ đến $t = 2$, vật chuyển động từ toạ độ $y = 3$ đến toạ độ $y = -13$, tức là vật đi được quãng đường 16 đơn vị độ dài. Từ $t = 2$ đến $t = 3$, vật

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I I. GỢI Ý DẠY HỌC – GV hệ thống kiến thức lí thuyết của cả chương (có thể chuẩn bị slide dạng sơ đồ hoá). – GV hệ thống các dạng toán cơ bả

$b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_$

$b) Đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$ nhận đường thẳng $x = -1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y = 2$ làm tiệm cận ngang. Bảng biến thiên và đồ thị hàm$

$c) Bảng biến thiên của hàm số $q = g(p)$ trên khoảng $(f; +\infty)$ được cho dưới đây: $p$, $f$, $+\infty$ $q'$, $-$ $q$, $+\infty$, $\searrow$, $f$ 1.45. a) Dâ$

Bài 6. Vectơ trong không gian
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
Phần Hình học ở lớp 12 tiếp nối phần hình học không gian ở lớp 11 và được chia thành hai phần ứng với hai tập: phần một (tập một, chương II) giới thiệu về vectơ trong không gian và hệ trục toạ độ trong không gian; phần hai (tập hai, chương V) giới thiệu về phương pháp toạ độ trong không gian. Phần kiến thức này là sự mở rộng của phương pháp toạ độ trong mặt phẳng hai chiều cho trường hợp không gian ba chiều. Nếu trong Chương trình trước đây, phần vectơ trong không gian được trình bày ở lớp 11 (để tạo cơ sở nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian) thì theo Chương trình năm 2018, phần kiến thức này chỉ được đề cập trong chương trình lớp 12.
Nếu trong chương trình Hình học ở lớp 10, HS đã được giới thiệu về vectơ trong mặt phẳng và các khái niệm liên quan thì trong chương trình Hình học lớp 12, HS tiếp tục được giới thiệu về vectơ trong không gian. Nhìn chung, các khái niệm và tính chất của vectơ trong không gian không khác nhiều so với các khái niệm và tính chất tương ứng của vectơ trong mặt phẳng. Do vậy trong các bài học đề cập đến các khái niệm và tính chất đó, các đơn vị kiến thức được trình bày một cách ngắn gọn, nhiều đơn vị kiến thức được tích hợp trong cùng một hoạt động dạy học. Như một lẽ tự nhiên, các ví dụ và luyện tập minh hoạ về vectơ trong không gian gắn liền với các hình không gian mà HS đã được học ở lớp 11 như hình tứ diện, hình chóp, hình lăng trụ,...
Nếu vectơ trong mặt phẳng là một công cụ hữu hiệu để biểu diễn các đối tượng hình học và đại lượng có hướng trong mặt phẳng thì vectơ trong không gian cũng đóng vai trò tương tự trong việc nghiên cứu hình học không gian. Ngoài ra, việc sử dụng thành thạo các tính chất của vectơ trong không gian có thể mang đến những lời giải ngắn gọn và đẹp đẽ cho một số bài tập về hình học không gian mà HS đã học ở lớp 11.
2 Cấu tạo chương
Chương này gồm 3 bài học và Bài tập cuối chương, được thực hiện trong 14 tiết. Cụ thể như sau:
Bài 6. Vectơ trong không gian, 6 tiết
Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian, 3 tiết

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ 3 tiết Bài tập cuối chương II 2 tiết.
3 Một số lưu ý
Nhìn chung, các kiến thức về vectơ trong không gian tương tự các kiến thức về vectơ
trong mặt phẳng. Do đó nếu HS vẫn còn nhớ các kiến thức về vectơ trong mặt phẳng đã học ở lớp 10 thì việc truyền tải những kiến thức về vectơ trong không gian là tương đối dễ dàng. GV có thể bắt đầu mỗi bài học bằng việc nhắc lại những kiến thức tương ứng trong mặt phẳng; điều này sẽ giúp HS dễ dàng tiếp nhận những kiến thức tương tự trong không gian. Ngoài ra, trong mỗi bài học, GV nên lấy các ví dụ minh hoạ về các vectơ thực sự nằm trong không gian (tức là không cùng nằm trong một mặt phẳng) để HS nhận thấy được sự khác biệt so với trường hợp của vectơ
trong mặt phẳng. Những ví dụ điển hình xoay quanh vectơ thể hiện vận tốc/gia tốc, độ dịch chuyển của các vật hay lực tác động giữa các vật trong không gian,… - Những kết quả về vectơ trong không gian có thể được chứng minh theo cách tương
tự như các kết quả về vectơ trong mặt phẳng, hoặc sử dụng các kết quả tương ứng về vectơ trong mặt phẳng. GV nên nhấn mạnh sự tương đồng này để HS thấy rằng các kết quả về vectơ trong không gian chính là sự mở rộng của các kết quả về vectơ trong mặt phẳng. - Một số những ví dụ vận dụng về vectơ trong không gian liên quan đến các kiến thức
trong Vật lí như nguyên tắc tổng hợp lực, Định luật III Newton về lực tác dụng và phản lực,… Những HS không theo định hướng Khoa học tự nhiên và Công nghệ có thể không lựa chọn Vật lí là môn học tự chọn và do đó sẽ không biết đến các kiến thức nêu trên. Trong trường hợp đó, GV cần giải thích kĩ hơn về các khái niệm trên, đồng thời gợi lại những ví dụ vận dụng tương tự đã giới thiệu tại phần vectơ trong mặt phẳng ở lớp 10 để giúp HS không bị bỡ ngỡ trước những kiến thức liên môn.
B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (6 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được vectơ trong không gian: hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng
hướng/ngược hướng, hai vectơ bằng nhau. - Nhận biết và thực hiện được các phép toán vectơ trong không gian.

2. Về năng lực, phẩm chất
Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt bài học), yêu nước
(thông qua việc quan sát và tìm hiểu về quốc kì Việt Nam). - Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực mô hình hoá toán học (thông qua việc sử dụng các kiến thức về vectơ
trong không gian để trả lời các câu hỏi trong phần Vận dụng). - Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (xuyên suốt bài học).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Nếu ở lớp 10 HS đã được giới thiệu về vectơ trong mặt phẳng và các phép toán vectơ
trong mặt phẳng thì trong Chương trình Hình học lớp 12, HS tiếp tục được giới thiệu về vectơ trong không gian và các phép toán vectơ trong không gian. Nhìn chung, các khái niệm về vectơ trong không gian là sự mở rộng của các khái niệm tương ứng về vectơ trong mặt phẳng. Khi giảng dạy, nếu có thời gian, GV nên nhấn mạnh đến sự tương đồng giữa các khái niệm này. Đối với những HS vẫn còn nhớ các khái niệm, quy ước, tính chất của phép toán vectơ trong mặt phẳng như giá của vectơ, vectơ-không, tính chất giao hoán của phép cộng vectơ,…, GV có thể đi nhanh qua các nội dung đó để tiết kiệm thời gian trên lớp.
Các phép toán vectơ trong không gian bao gồm phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ và tích vô hướng của hai vectơ được định nghĩa hoàn toàn tương tự như trong trường hợp của vectơ trong mặt phẳng. Do đó trước khi trình bày về mỗi phép toán vectơ trong không gian, GV có thể yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa của các phép toán tương ứng trong mặt phẳng như một cách để dẫn nhập vào nội dung mới. Có một số điểm sau GV cần lưu ý: - Các tính chất của phép toán vectơ trong mặt phẳng vẫn đúng đối với phép toán vectơ trong không gian; - Quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng được mở rộng thành quy tắc hình hộp trong không gian; - Chương trình môn Toán năm 2018 không đề cập đến kiến thức về ba vectơ đồng phẳng, do đó SGK mới cũng không nhắc đến nội dung này;

– Khi định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, có một khái niệm mới là “góc giữa hai vectơ trong không gian”. Nếu có thể, GV nên nhấn mạnh mối liên hệ giữa khái niệm này với khái niệm “góc giữa hai đường thẳng trong không gian” mà HS đã học ở lớp 11.
Các ví dụ và luyện tập được thiết kế trong bài học này đều xoay quanh các đối tượng hình học trong không gian. Điều này giúp HS thấy được rằng, ngoài các vectơ trong mặt phẳng như đã học ở lớp 10, vectơ còn xuất hiện rất nhiều (và chủ yếu) trong không gian. GV cần đảm bảo HS vẫn nắm được các kết quả cơ bản của hình học không gian hay các tính chất đặc trưng của hình chóp, hình tứ diện, hình lăng trụ, hình hộp,… để sử dụng khi cần.
GV khuyến khích HS tìm hiểu thêm các hình ảnh về vectơ trong không gian được sử dụng trong thực tiễn. GV có thể gợi ý HS tập trung vào các đại lượng có hướng quen thuộc ở phổ thông như độ dịch chuyển, lực, vận tốc hay gia tốc để có được những ví dụ phong phú về vectơ trong không gian.
GV chuẩn bị: SGK, giáo án, hình ảnh liên quan đến các nội dung trong bài.
III. GỢI Ý DẠY BÀI HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 6 tiết. Cụ thể như sau:
Tiết 1: Mục 1;
Tiết 2, 3: Mục 2 và chữa một số bài tập;
Tiết 4: Mục 3;
Tiết 5, 6: Mục 4 và chữa một số bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Nêu vấn đề, HS quan sát hình ảnh vectơ trong không gian và liên hệ với vectơ trong mặt phẳng, từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu về vectơ trong không gian và các khái niệm liên quan., GV trình bày theo SGK, có thể đưa thêm các ví dụ gọi lên hình ảnh của vectơ trong không gian.

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN HĐ1. Nhận biết vectơ trong không gian, HS quan sát và nhận biết hình ảnh về vectơ trong không gian., GV triển khai như trong SGK. Nếu

Chú ý, Tóm tắt các kí hiệu liên quan đến vectơ và khái niệm giá của vectơ., GV triển khai theo SGK. Lưu ý rằng các kí hiệu về vectơ, độ dài vectơ hay khái niệm

$| | c) Hai vectơ cùng phương và cùng hướng. Sau khi HS trả lời được ba câu hỏi trong HĐ2, GV nói rằng trong trường hợp đó ta nói hai vectơ $\overrightarrow{AB}$$

$$\overline{OM}$ bằng một vectơ cho trước trong một trường hợp cụ thể., b) Điểm $N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BN = AM$. Vận dụng 1, HS nhận biết được hai vectơ bằ$

$Gợi ý. a) Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}$ (cùng bằng $\vec{a}$) nên bốn điểm $A, B, A', B'$ đồng phẳng và tứ giác $ABB'A'$ là hình bình hành. S$

về hiệu của hai vectơ trong không gian, do đó HS chỉ nên sử dụng các tính chất của phép cộng vectơ để chứng minh đẳng thức đã cho. Luyện tập 4, GV yêu cầu HS tự

HS áp dụng được quy tắc hình hộp để nhận được đẳng thức tương tự đẳng thức đã phát biểu trong khung kiến thức., GV yêu cầu HS quan sát hình hộp đã cho và trả lờ

Khung kiến thức, Khái niệm vectơ đối., GV trình bày theo SGK. Định nghĩa về vectơ đối của một vectơ trong không gian hoàn toàn giống với định nghĩa về vectơ đối của một vectơ trong mặt phẳng.
Chú ý, HS nhận biết được một số quy ước và tính chất của vectơ đối., GV trình bày theo SGK.
Khung kiến thức, Định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian và phép trừ hai vectơ., GV triển khai theo SGK. Định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian hoàn toàn giống với định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng. Do đó GV có thể yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng và dẫn dắt HS đến định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian.
Nhận xét, HS nhận biết một tính chất của phép trừ vectơ., GV triển khai theo SGK.
Ví dụ 6, HS giải thích được vì sao hai vectơ cho trước là đối nhau và thực hiện được phép trừ vectơ trong một tình huống cụ thể., GV trình bày theo SGK.
Luyện tập 6, GV yêu cầu HS tự thực hiện, sau đó ghi bài chữa trên bảng. Gợi ý. a) Hai vectơ $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{DM}$ cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài nên là hai vectơ đối nhau. b) $\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{CM}$ $= \overrightarrow{SM} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SC}$.
Vận dụng 2, HS nhận biết được hai vectơ đối nhau trong thực tiễn., GV yêu cầu HS nhận xét về mối liên hệ giữa phương, hướng và độ lớn của hai vectơ vận tốc, từ đó rút ra kết luận. Gợi ý. Quan sát thấy hai vectơ vận tốc cùng phương (vì làn lên và làn xuống "song song") và ngược hướng (một làn

đi lên và một lần đi xuống). Thông thường thì làn lên và làn xuống có cùng tốc độ di chuyển nên độ lớn của hai vectơ vận tốc bằng nhau. Vì vậy hai vectơ vận tốc

$– Sau khi kết thúc HĐ6, GV nhấn mạnh rằng vectơ $\overrightarrow{MN}$ được gọi là tích của số thực $\frac{1}{2}$ với vectơ $\overrightarrow{B'C'}$. Định nghĩa t$

$Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel DC$ và $AB = DC$. Do đó $EF \parallel DC$ và $EF = \frac{1}{3}DC$. Hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\ov$

Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel DC$ và $AB = DC$. Do đó $EF \parallel DC$ và $EF = \frac{1}{3}DC$. Hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$.
Chú ý, Một số tính chất của phép nhân một số với một vectơ trong không gian., GV triển khai theo SGK.
Ví dụ 8, HS sử dụng được các tính chất của phép nhân một số với một vectơ trong không gian để chứng minh một đẳng thức về vectơ., GV triển khai theo SGK.
Chú ý, HS nhận được một kết quả mở rộng của kết quả đã biết trong mặt phẳng., GV triển khai theo SGK.
Luyện tập 8, HS sử dụng được các tính chất của phép nhân một số với một vectơ trong không gian để chứng minh một đẳng thức về vectơ, từ đó dẫn tới khái niệm trọng tâm của tứ diện theo ngôn ngữ vectơ., GV gợi ý HS sử dụng kết quả trong Ví dụ 8 để biểu diễn tổng $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}$. Gợi ý. $\overline{IA} + \overline{IB} + \overline{IC} + \overline{ID} = \overline{IA} + 3\overline{IG}$ $= \overline{IA} + \overline{AI} = \vec{0}$.
Vận dụng 3, HS vận dụng được tính chất của phép nhân một số với một vectơ trong không gian trong một tình huống thực tiễn., GV gợi ý HS xác định mối liên hệ về phương, hướng và độ lớn của hai vectơ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}$ để tìm ra câu trả lời. Gợi ý. Lực cản ngược hướng với lực đẩy của động cơ (lực này có hướng không đổi vì máy bay giữ nguyên hướng bay) nên $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ cùng hướng, suy ra $\overrightarrow{F_1} = k\overrightarrow{F_2}$ với $k$ là tỉ số độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}$.

$Nói cách khác, $k$ là tỉ số độ lớn của hai lực cản tương ứng nên từ giả thiết tính được $k = \left( {\frac{{900}}{{920}}} \right)^2 \approx 0,96$. Tiết 5, 6 HOẠ$

Khung kiến, Định nghĩa về góc giữa hai
thức, vectơ (khác vectơ-không) trong không gian.
Chú ý HS nhận biết được cách để xác
định góc giữa hai vectơ trong không gian và quy ước về góc giữa hai vectơ trong hợp có một vectơ là 0 .
HS xác định được góc giữa hai vectơ trong hai hợp đặc biệt.
Ví dụ 9
HS xác định được góc giữa hai vectơ trong một trường
Luyện tập 9
hợp cụ thể.
GV trình bày theo SGK. GV có thể nhấn mạnh rằng, về hình thức và ý tưởng, định nghĩa này hoàn toàn giống định nghĩa về góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng.
trường G, - GV trình bày theo SGK. - Trong Chú ý đầu tiên, GV cần lưu ý rằng ý tưởng để xác định góc giữa hai vectơ trong không gian (cũng như trong mặt phẳng) là ''dịch chuyển'' hai vectơ đến vị trí mới sao cho chúng có chung điểm đầu, từ đó xác định góc được tạo thành. Đơn giản hơn, ta có thể giữ cố định một vectơ và chỉ ''dịch chuyển'' vectơ còn lại. Đây cũng là cách thường được sử dụng để xác định góc giữa hai vectơ trong không gian. - Chú ý thứ hai là quy ước về góc giữa vectơ-không và một vectơ bất kì. Quy ước này giống quy ước đã biết trong mặt phẳng.
trường, GV minh hoạ bằng hình ảnh và yêu cầu HS sử dụng định nghĩa để xác định góc giữa hai vectơ được đề cập đến trong câu hỏi. Gợi ý. Góc giữa hai vectơ cùng hướng G (khác 0 ) là 0o, góc giữa hai vectơ ngược hướng là 180o.
GV triển khai theo SGK. GV có thể nhấn mạnh đến tính chất về góc giữa hai vectơ được nhắc tới trong Chú ý trên trước khi HS thực hiện ví dụ.
GV yêu cầu HS thực hiện tại chỗ và yêu cầu hai HS lên bảng trình bày. Gợi ý. Hình lăng trụ tam giác đều có các mặt là hình chữ nhật, do đó

$$\left(\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BC}\right) = \left(\overrightarrow{BB'}, \overrightarrow{BC}\right) = \widehat{CBB'} = 90^{\circ}$. Vì $ABC$ là tam$

Ví dụ 10, HS tính được tích vô hướng của hai vectơ trong không gian trong một trường hợp cụ thể., GV triển khai theo SGK. GV nhấn mạnh rằng để tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian cần xác định độ dài của mỗi vectơ và số đo của góc giữa hai vectơ đó.
Luyện tập 10, GV yêu cầu HS tự thực hiện. Gợi ý. a) $0$; b) $-\frac{a^2}{2}$.
Nhận xét, Một số tính chất thừa nhận của tích vô hướng của hai vectơ trong không gian., GV triển khai như trong SGK. Trên thực tế các tính chất này là khá quen thuộc với HS vì đã được giới thiệu trong Toán 10. Chú ý. Tính chất giao hoán của tích vô hướng có thể suy ra dễ dàng từ định nghĩa, nhưng hai tính chất còn lại thì không. Trong Toán 10, HS được hướng dẫn chứng minh các tính chất này bằng cách sử dụng biểu thức toạ độ của tích vô hướng. Ta cũng có thể làm điều tương tự đối với tích vô hướng trong không gian bằng cách sử dụng toạ độ trong không gian. Tuy nhiên để kiến thức được liên mạch, phần hệ toạ độ trong không gian sẽ được nhắc đến sau và do đó các tính chất của tích vô hướng sẽ không được chứng minh mà để HS thừa nhận.
Ví dụ 11, HS tính được tích vô hướng của hai vectơ trong một trường hợp cụ thể., GV triển khai theo SGK.
Luyện tập 11, GV hướng dẫn HS tự thực hiện. Có thể gợi ý HS viết vectơ $\overrightarrow{A'C}$ thành tổng của hai vectơ mà mỗi vectơ đều vuông góc với vectơ $\overrightarrow{B'D'}$. Gợi ý. $\overrightarrow{A'C} \cdot \overrightarrow{B'D'} = (\overrightarrow{A'C'} + \overrightarrow{C'C}) \cdot \overrightarrow{B'D'}$ $= \overrightarrow{A'C'} \cdot \overrightarrow{B'D'} + \overrightarrow{C'C} \cdot \overrightarrow{B'D'} = 0$ vì hai đường thẳng $A'C'$ và $C'C$ đều vuông góc với đường thẳng $B'D'$.

Chú ý. HS có thể lập luận rằng hai đường thẳng $A'C'$ và $C'C$ đều vuông góc với đường thẳng $B'D'$ nên suy ra $(ACC')$ vuông góc với $B'D'$, từ đó kết luận $A'

3. Phân loại bài tập
– Bài tập về vectơ trong không gian (độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ cùng hướng/ngược hướng, hai vectơ bằng nhau): Các bài tập 2.1, 2.2, 2.3.
– Bài tập về phép cộng, trừ hai vectơ: Các bài tập 2.4, 2.5, 2.6.
– Bài tập về phép nhân một số với một vectơ: Các bài tập 2.7, 2.8.
– Bài tập về tích vô hướng: Các bài tập 2.10, 2.11, 2.12.
– Bài tập vận dụng: Các bài tập 2.3, 2.8, 2.9.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
2.1. Các mệnh đề đúng là a, b.
2.2. Vì $BB' = AA' = 4$ nên $\left| {\overrightarrow {BB'} } \right| = 4$.
Tam giác $ABD$ vuông tại A có $BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$ nên $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = \sqrt {13}$.
Tam giác $BDD'$ vuông tại D có $BD' = \sqrt {B{D^2} + DD{'^2}} = \sqrt {13 + {4^2}} = \sqrt {29}$ nên $\left| {\overrightarrow {BD'} } \right| = \sqrt {29}$.
2.3. (GV gợi ý cho HS xem lại bóng nói của rô bốt ở HĐ5 về mối quan hệ giữa lực và phản lực).
a) Các vectơ $\vec b,;\vec c,;\vec d,;\vec e$ đều cùng phương với vectơ $\vec a$ nên chúng đôi một cùng phương với nhau. Các vectơ $\vec b,;\vec c,;\vec d,;\vec e$ đều ngược hướng với vectơ $\vec a$ nên chúng đôi một cùng hướng với nhau.
b) Do trọng lực phân tán đều qua các chân bàn nên các phản lực có độ lớn như nhau, suy ra các vectơ $\vec b,;\vec c,;\vec d,;\vec e$ có độ dài bằng nhau. Do đó các vectơ $\vec b,;\vec c,;\vec d,;\vec e$ đôi một bằng nhau.
2.4. a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {CC'}$;
b) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD'} - \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD'} - \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'} - \overrightarrow {CC'} = \vec 0$;
c) $\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {DC} = - (\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {CD} ) = \overrightarrow {A'C}$ (theo quy tắc hình hộp).
2.5. a) $\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} = \vec a + \vec b$;
b) $\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \vec a + \vec c - \vec b$;
c) $\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \vec a + \vec c - \vec b$.
2.6. Đẳng thức đã cho tương đương với $\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SD} - \overrightarrow {SC}$ hay $\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$, tức là $ABCD$ là hình bình hành.

Bài 7. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (3 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Nhận biết được toạ độ của điểm, của vectơ đối với hệ trục toạ độ. Vận dụng

2. Về phẩm chất, năng lực
Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt bài học). - Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực mô hình hoá toán học (thông qua việc sử dụng các kiến thức liên môn và
kiến thức thực tế để trả lời các câu hỏi Vận dụng). - Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (xuyên suốt bài học).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Hệ trục toạ độ trong không gian là sự mở rộng của hệ trục toạ độ trong mặt phẳng mà
HS đã học trong Chương trình Toán 10. Sự mở rộng này là hoàn toàn tự nhiên khi ta muốn nghiên cứu các bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ. Tương tự như trong trường hợp của mặt phẳng, bài học này bắt đầu với định nghĩa về hệ toạ độ trong không gian và toạ độ của điểm/vectơ trong không gian. Biểu thức toạ độ của vectơ trong không gian sẽ được đề cập trong bài học tiếp theo.
Khi dạy toạ độ của điểm/vectơ trong không gian, GV có thể trình bày như trong Mục 2,
hoặc trình bày toạ độ của vectơ trước, sau đó định nghĩa toạ độ của điểm M như là
JJJG toạ độ của vectơ OM . Cả hai cách trình bày đều được chấp nhận, tuy nhiên GV cần chú ý rằng các ví dụ tương ứng phải tương thích với thứ tự kiến thức được trình bày. GV cũng cần nhấn mạnh đến mối liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ sau khi đã trình bày hai khái niệm trên.
Toạ độ của một điểm/vectơ hoàn toàn phụ thuộc vào hệ toạ độ đã chọn. Mặc dù ở mỗi
tình huống trong bài học này ta luôn cố định một hệ toạ độ, nhưng việc sử dụng nhiều hệ toạ độ khác nhau trong cùng một tình huống là không hiếm gặp trong thực tiễn. Điều này được thể hiện rõ khi HS trả lời câu hỏi Vận dụng 1 và GV nên nhấn mạnh với HS về điều này.
4. GV khuyến khích HS tìm hiểu thêm các hình ảnh trong thực tiễn về hệ toạ độ trong
không gian, ví dụ như quan sát ba đường thẳng đồng quy và đôi một vuông góc với nhau trong không gian. Khi HS đã có cảm nhận về hệ toạ độ trong không gian, GV có thể yêu cầu HS xác định toạ độ (một cách tương đối) của một số vật thể đối với hệ toạ độ đó.
5. GV chuẩn bị: SGK, giáo án, hình ảnh liên quan đến các nội dung trong bài.

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thời lượng Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết. Cụ thể như sau: – Tiết 1: Từ đầu đến hết Nhận xét sau Luyện tập 3; – Tiết 2: Từ Ví dụ 4 đến

mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau”.
Khung kiến thức, Định nghĩa về hệ trục toạ độ trong không gian, gốc toạ độ và mặt phẳng toạ độ., GV trình bày theo SGK. GV có thể nhấn mạnh thêm về sự tương đồng giữa hệ trục toạ độ trong không gian và hệ trục toạ độ trong mặt phẳng đã học trước đây.
?, HS nhận biết được hình ảnh về hệ toạ độ trong không gian trong thực tiễn., GV gợi ý HS tìm các đường thẳng đôi một vuông góc trong Hình 2.34, từ đó đưa ra câu trả lời. Gợi ý. Hình ảnh góc căn phòng trong tình huống mở đầu có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ trong không gian. Có thể chọn gốc toạ độ là góc phòng, các trục toạ độ là các đường mép tường. Khi đó các mặt phẳng toạ độ là hai mặt tường và mặt sàn nhà.
Ví dụ 1, HS nhận biết được hệ toạ độ trong không gian có thể được thiết lập từ các yếu tố của các hình hình học như hình lập phương hay hình hộp chữ nhật., GV triển khai theo SGK. GV nhấn mạnh đến các thành phần không thể thiếu của một hệ toạ độ trong không gian, đó là các trục toạ độ (đôi một vuông góc tại gốc) và các vectơ đơn vị trên mỗi trục.
Luyện tập 1, GV vẽ hình minh hoạ và yêu cầu hai HS lên bảng trình bày. Gợi ý. Có, hệ toạ độ gồm các trục $CB$, $CD$, $CC'$ (đôi một vuông góc tại $C$); các vectơ đơn vị lần lượt cùng hướng với các vectơ $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{CC'}$.
2. TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
| HĐ2. Hình thành khái niệm toạ độ của vectơ trong không gian | HS nhận biết được toạ độ của một điểm trong không gian đối với một hệ toạ độ cho trước. | – GV triển khai như trong SGK.
– GV chú ý:
+ Toạ độ của một điểm trong mặt phẳng được định nghĩa theo cách thuần tuý hình học, tức là sử dụng hình chiếu vuông góc của một điểm trên mỗi trục toạ độ (lớp 8). |

| | | Cách định nghĩa toạ độ trong không gian ở HĐ này sử dụng khái niệm vectơ trong không gian, từ đó suy ra ý nghĩa hình học của toạ độ ở phần sau. + Sau HĐ2,

Tiết 2
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Nhắc lại kiến thức, HS nhắc lại định nghĩa về hệ toạ độ trong không gian và toạ độ của một điểm trong không gian., GV gọi một số HS phát biểu và nhận xét.
Ví dụ 3, HS giải thích được ý nghĩa hình học của toạ độ của một điểm trong một trường hợp cụ thể., GV triển khai theo SGK. Chú ý rằng nếu $\overrightarrow{OM} = x\vec{i}$ thì toạ độ của $M$ là $(x; 0; 0)$.
Luyện tập 3, GV gợi ý HS áp dụng quy tắc hình bình hành cho các hình chữ nhật $OB'C'D'$, $OABB'$ và $OADD'$, sau đó sử dụng các kết quả đã có trong Ví dụ 3. Gợi ý. Trong hình bình hành $OB'C'D'$ có $\overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OD'} + \overrightarrow{OB'} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$, suy ra điểm $C'$ có toạ độ là $(2; 3; 0)$. Tương tự, điểm $B$ có toạ độ là $(0; 3; 5)$ và điểm $D$ có toạ độ là $(2; 0; 5)$.
Nhận xét, HS nhận biết ý nghĩa hình học của toạ độ một điểm trong không gian., Sau khi kết thúc Ví dụ 3 và Luyện tập 3, GV nhấn mạnh rằng các điểm $D', B', A$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên các trục toạ độ, các điểm $B, D, C'$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên các mặt phẳng toạ độ. Trong trường hợp tổng quát ta có các khẳng định trình bày như trong SGK.
Vận dụng 1, HS sử dụng được kiến thức về toạ độ của một điểm trong một tình huống thực tế., GV gợi ý HS sử dụng hệ toạ độ đã có khi trả lời câu hỏi ở Mục 1. Gợi ý. Có thể chọn hệ trục toạ độ với các trục trùng với các mép tường: $Ox$ hướng về phía trước trang giấy, $Oy$ hướng về bên phải và $Oz$ hướng lên trên, đơn vị trên mỗi trục lấy theo mét,

$| | | khi đó toạ độ của bóng đèn là $\left( {1;1,5;2} \right)$. Chú ý. Tuỳ thuộc vào cách chọn các trục toạ độ và đơn vị trên các trục mà toạ độ của bóng đèn là$

Tiết 3
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
HD4. Thiết lập toạ độ của vectơ theo toạ độ hai đầu mút, HS giải thích được cách xác định toạ độ của một vectơ khi biết toạ độ của hai đầu mút., GV triển khai theo SGK. Gợi ý. a) $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ ; $\overrightarrow{ON} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$. b) Có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$ $= (x' - x)\vec{i} + (y' - y)\vec{j} + (z' - z)\vec{k}$ , suy ra toạ độ của $\overrightarrow{MN}$ là $(x' - x; y' - y; z' - z)$.
Khung kiến thức, Công thức biểu diễn toạ độ của một vectơ qua toạ độ của hai đầu mút., – GV trình bày như trong SGK. – GV có thể gọi một số HS phát biểu bằng lời công thức đã nêu.
Ví dụ 5, HS sử dụng được công thức biểu diễn toạ độ của một vectơ qua toạ độ của hai đầu mút để xác định toạ độ của vectơ hoặc toạ độ của điểm., GV triển khai theo SGK.
Luyện tập 5, GV hướng dẫn HS tự thực hiện. Gợi ý. Vì $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (4; -5; 4)$ nên $D(5; -5; 6)$. Vì $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AA'} = (4; 0; -1)$ nên $D'(9; -5; 5)$.
Vận dụng 2, HS sử dụng được khái niệm về toạ độ của vectơ trong không gian để trả lời một câu hỏi liên quan đến thực tiễn., GV nhắc lại khái niệm về vectơ biểu diễn độ dịch chuyển và gợi ý HS xác định phương, hướng và độ lớn của vectơ đó. Gợi ý. Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của máy bay trong nửa giờ là $\overrightarrow{AB}$ thì $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với vectơ đơn vị $\vec{j}$ và có độ dài bằng quãng đường máy bay di chuyển trong nửa giờ đó, tức là bằng: $890 \cdot 0{,}5 = 445$ (km). Do đó $\overrightarrow{AB} = 445\vec{j}$ , suy ra $\overrightarrow{AB}$ có toạ độ là $(0; 445; 0)$.

Bài tập 2.14, HS nhận biết được hình ảnh về hệ trục toạ độ trong thực tiễn., GV yêu cầu HS làm theo nhóm và gọi các nhóm lên bảng trình bày lời giải.
Bài tập 2.16, HS xác định được toạ độ của một số điểm cụ thể trong không gian., GV yêu cầu HS tự thực hiện, sau đó gọi hai HS trình bày lời giải trước lớp.
Bài tập 2.18, HS sử dụng được mối liên hệ giữa toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm để xác định toạ độ của một số điểm trong không gian., GV có thể yêu cầu HS xem lại Ví dụ 5 và Luyện tập 5 như là một gợi ý để giải bài tập này.
3. Phân loại bài tập
– Bài tập về hệ toạ độ trong không gian: Các bài tập 2.13, 2.14.
– Bài tập về toạ độ của điểm trong không gian: Các bài tập 2.16, 2.17, 2.18, 2.19.
– Bài tập về toạ độ của vectơ trong không gian: Các bài tập 2.15, 2.18.
– Bài tập vận dụng: Các bài tập 2.14, 2.19.
IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
2.13. Các mệnh đề đúng là a, d.
2.14. Trục $Ox$ là mép trần nhà nằm trên bức tường chứa bức tranh, trục $Oy$ là mép còn lại của bức tường chứa bức tranh và trục $Oz$ là mép trần nhà còn lại.
2.15. a) $(4; 2; -5)$; b) $(0; 0; 0)$; c) $(-10; 3; -7)$.
2.16. a) $(0; 0; 0)$; b) $(2; 0; 0)$; c) $(0; -3; 0)$.
2.17. Thực hiện tương tự Ví dụ 3 và Luyện tập 3, ta được:
$A(0; 0; 0), C'(2; 4; 3), C(2; 4; 0), B'(0; 4; 3), D'(2; 0; 3)$.
2.18. a) Vì $OABC$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} = (-1; 2; 1)$, suy ra $C(-1; 2; 1)$.
b) Ta có $\overrightarrow{OO'} = \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} = (3; -5; 5)$, từ đó tính được
$O'(3; -5; 5), A'(4; -4; 4), B'(3; -2; 5)$.
2.19. Gọi $M$ là điểm biểu diễn vị trí của máy bay. Khi máy bay di chuyển trên đường băng thì $M$ luôn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, do đó cao độ của $M$ bằng 0. Vậy toạ độ của $M$ có dạng $(x; y; 0)$.

Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biết được biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian, thể hiện được các phép toán vectơ theo toạ độ.
Xác định được độ dài của vectơ khi biết toạ độ của hai đầu mút.
Vận dụng được biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.
2. Về phẩm chất, năng lực
Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt bài học).
Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học).
Năng lực mô hình hoá toán học (thông qua việc sử dụng các kiến thức liên môn và kiến thức thực tế để trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu và trong Mục 3 của bài học).
Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học).
Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (xuyên suốt bài học).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Bài học này trình bày biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ (phép cộng/trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ và tích vô hướng của hai vectơ) đã học trong Bài 6. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong không gian hoàn toàn tương tự biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ trong mặt phẳng (ngoại trừ việc có 3 toạ độ thay vì 2). Do vậy HS có thể dễ dàng thừa nhận các biểu thức đó mà không gặp khó khăn nào. Đối với HS đại trà, thay vì yêu cầu HS chứng minh các biểu thức toạ độ một cách chặt chẽ, GV có thể dành thời gian để HS làm thêm các ví dụ và bài tập có sử dụng các biểu thức toạ độ đó.
Có hai cách để thiết lập biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian. Cách được trình bày trong bài học này là sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng vectơ mà ta đã thừa nhận trong Bài 6 (xem HD2). Một cách tiếp cận khác là sử dụng định lí côsin như trong trường hợp của mặt phẳng. Cách tiếp cận này cho phép ta không cần thừa nhận bất cứ tính chất nào của tích vô hướng, tuy nhiên nó tương đối phức tạp đối với phần lớn HS và do đó không được trình bày trong bài học này.

Khi đã có biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ, ta có thể đại số hoá nhiều bài toán hình học và đưa ra lời giải gồm các biến đổi đại số thuần tuý. Nếu có thời gian, GV nên trình bày thêm những bài toán như vậy để HS thấy được ứng dụng của phương pháp toạ độ trong không gian.
GV khuyến khích HS tìm hiểu thêm về các ứng dụng của biểu thức toạ độ của vectơ trong thực tiễn, ví dụ như tính khoảng cách giữa hai điểm hoặc tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
GV chuẩn bị: SGK, giáo án, hình ảnh liên quan đến các nội dung trong bài.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 3 tiết. Cụ thể như sau:
– Tiết 1: Từ đầu đến hết Mục 1;
– Tiết 2, 3: Mục 2, 3 và chữa một số bài tập.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Nêu vấn đề, Tính toán các kích thước của vật thể sau khi đã mô hình hoá, từ đó dẫn tới nhu cầu hình thành biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ., GV mô tả tình huống và có thể yêu cầu HS dựa vào các tính chất hình học của lăng trụ đứng tam giác để xác định toạ độ các đỉnh của hình lăng trụ. Đến lúc này GV có thể đặt câu hỏi về cách tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết toạ độ của hai điểm đó và dẫn dắt HS đến nội dung của bài học.
1. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
HĐ1. Hình thành biểu thức toạ độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ,, HS giải thích được biểu thức toạ độ của phép cộng/trừ hai vectơ và phép nhân một số với một vectơ trong trường hợp cụ thể, từ đó thừa nhận, – GV triển khai như trong SGK. Chú ý rằng HĐ1 hoàn toàn tương tự như hoạt động dẫn tới biểu thức toạ độ của các phép toán tương ứng trong mặt phẳng.

| phép nhân một số với một vectơ trong không gian | biểu thức tọa độ của các phép toán trên trong trường hợp tổng quát. | – Trước khi bắt đầu, GV có thể (yêu cầu HS) nhắc lại định nghĩa về tọa độ của vectơ trong không gian.
Gợi ý. a) $\vec{a} = \vec{i} + 5\vec{k}$ ; $\vec{b} = \vec{i} + 3\vec{j} + 9\vec{k}$.
b) Ta có:
$\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 14\vec{k}$ nên tọa độ của $\vec{a} + \vec{b}$ là $(2; 3; 14)$; $2\vec{a} = 2\vec{i} + 10\vec{k}$ nên tọa độ của $2\vec{a}$ là $(2; 0; 10)$.
– Đối với HS khá, giỏi, sau khi kết thúc HĐ1, GV có thể yêu cầu HS dự đoán biểu thức tọa độ của các phép toán cộng/trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ. |
| Khung kiến thức | Biểu thức tọa độ của phép cộng/trừ hai vectơ và phép nhân một số với một vectơ. | – GV trình bày theo SGK.
– GV có thể nhấn mạnh sự tương tự giữa các biểu thức tọa độ này với các biểu thức tọa độ trong mặt phẳng để HS dễ dàng ghi nhớ các công thức. |
| | HS xác định được tọa độ của vectơ đối của một vectơ. | GV gợi ý HS viết $-\vec{a}$ thành $(-1)\vec{a}$ và áp dụng biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ.
Gợi ý. $-\vec{a}$ có tọa độ là $(-x; -y; -z)$. |
| Nhận xét | HS nhận biết được dấu hiệu (dạng tọa độ) để hai vectơ cùng phương. | GV có thể yêu cầu HS nhắc lại điều kiện để hai vectơ (trong không gian) cùng phương, từ đó sử dụng biểu thức tọa độ của phép nhân một số với một vectơ để suy ra kết quả. |
| Ví dụ 1 | HS sử dụng được biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ vừa học để tìm tọa độ của một số vectơ cụ thể. | GV triển khai theo SGK. |
| Luyện tập 1 | | GV chia lớp thành các nhóm nhỏ và yêu cầu mỗi nhóm trình bày lời giải trên bảng.
Gợi ý. $\vec{u} - 2\vec{v} + \vec{w} = (3; 7; 14)$. |

HĐ2. Thiết lập toạ độ trung điểm đoạn thẳng, toạ độ trọng tâm tam giác, HS thiết lập được biểu thức toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và biểu thức toạ độ trọng t

Tiết 2, 3 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 1. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Nhắc lại kiến thức, HS nhắc lại biểu thức toạ độ của phép cộng/trừ

$góc giữa hai vectơ trong không gian và tính độ dài của một vectơ trong không gian khi biết toạ độ của các vectơ đó., $\vec{a}+\vec{b}$ và từ đó tính $(\vec{a}+\$

$Luyện tập 6, HS sử dụng được biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong tình huống thực tiễn., GV hướng dẫn HS tự thực hiện, chú ý rằng góc $\alpha$ cần tìm chính$

– GV cho HS tóm tắt những kiến thức trọng tâm mà HS đã học trong chương II. – GV cho HS làm phần trắc nghiệm trên lớp, chọn lọc một số bài toán tự luận điển hìn

II. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI
A. Trắc nghiệm
2.25. D.
2.26. B.
2.27. D.
2.28. B.
2.29. C.
2.30. C.
2.31. A.
2.32. B.
2.33. B.
2.34. A.
B. Tự luận
2.35. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ thì $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Ta có: $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}$. Do đó $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$.
2.36. Ta có:
$\overline{MN} = \overline{MA} + \overline{AD} + \overline{DN} \Rightarrow 2\overline{MN} = 2\overline{MA} + 2\overline{AD} + 2\overline{DN}$ và $\overline{MN} = \overline{MB} + \overline{BC} + \overline{CN}$.
Khi đó $3\overline{MN} = (\overline{MB} + 2\overline{MA}) + (\overline{CN} + 2\overline{DN}) + 2\overline{AD} + \overline{BC} = 2\overline{AD} + \overline{BC}$.
Suy ra $\overline{MN} = \frac{2}{3}\overline{AD} + \frac{1}{3}\overline{BC}$.
2.37. a) Vì $\overline{GB} + \overline{GD} + \overline{GA'} = \vec{0}$ nên $\overline{GA} + \overline{AB} + \overline{GA} + \overline{AD} + \overline{GA} + \overline{AA'} = \vec{0}$.
Suy ra $\overline{AG} = \frac{1}{3}(\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA'})$.
b) Theo câu a và theo quy tắc hình hộp thì $\overline{AC'} = \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA'} \Rightarrow \overline{AC'} = 3\overline{AG}$.
Do đó ba điểm $A, G, C'$ thẳng hàng.
2.38. a) $G\left(\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3}\right)$.
b) Vì $M$ thuộc $Oz$ nên toạ độ của $M$ có dạng $M(0; 0; t)$. Suy ra $\overline{BM} = (-1; -1; t+1)$ mà $\overline{AC} = (-3; 1; -1)$ nên $\overline{BM} \cdot \overline{AC} = 3 - 1 - t - 1 = 1 - t = 0 \Leftrightarrow t = 1$. Vậy $M(0; 0; 1)$.
2.39. Ta có:
$\overline{OB} = \overline{OA} + \overline{OC} = (1; 5; 4) \Rightarrow B(1; 5; 4)$; $\overline{OA'} = \overline{OA} + \overline{OO'} = (3; 1; 3) \Rightarrow A'(3; 1; 3)$;
$\overline{OC'} = \overline{OC} + \overline{OO'} = (0; 0; 5) \Rightarrow C'(0; 0; 5)$;
$\overline{OB'} = \overline{OA} + \overline{OC} + \overline{OO'} = (2; 3; 6) \Rightarrow B'(2; 3; 6)$.

$2.40. a) $\vec{u} = (-4; -1; 4)$. b) $|\vec{u}| = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$. c) $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\v$

Chương III. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
Phần thống kê trong CT GDPT môn Toán bậc THPT hoàn toàn trình bày về các số đặc trưng của mẫu số liệu, bao gồm mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Các số đặc trưng cho mẫu số liệu không ghép nhóm được trình bày trong Chương trình Toán lớp 10. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm (trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt) được giới thiệu trong Chương trình Toán lớp 11. Chương này cũng là toàn bộ nội dung phần thống kê của lớp 12, sẽ giới thiệu về các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn.
2 Cấu tạo chương
Chương này gồm 2 bài học và phần Bài tập cuối chương với tổng thời lượng là 4 tiết. Phân bố thời lượng cụ thể như sau:
Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị 1 tiết
Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn 2 tiết
Bài tập cuối chương III 1 tiết.
3 Một số điểm cần lưu ý
– Khi có mẫu số liệu gốc $x_1, x_2,..., x_n$ ta sẽ tính được các số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu này. Tuy nhiên, trong một số trường hợp ta chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm là xấp xỉ cho các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu gốc.
– Đối với số liệu liên tục, các nhóm số liệu có thể được cho dưới dạng $[a; b)$, $(a; b]$, $[a; b]$, $(a; b)$ với $a, b \in \mathbb{R}$. Tuy nhiên, để đơn giản, SGK quy ước nhóm số liệu được cho dưới dạng $[a; b)$, riêng nhóm số liệu cuối cùng có thể là $[a; b]$.
– Ta cần phải hiệu chỉnh mẫu số liệu ghép nhóm trước khi tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu ghép nhóm của số liệu rời rạc.

B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC Bài KHOẢNG BIÊғN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN tiết) 9. VỊ (1 I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Tính được khoảng biến thiên, khoả

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Nêu vấn đề, Khơi gợi động cơ, đưa ra một tình huống dẫn đến yêu cầu cần định nghĩa các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm., – Nhắc lại các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm đã học. – Do ta không có mẫu số liệu gốc nên không tính được các số đặc trưng này. Vì vậy, ta cần tìm cách tính các số đặc trưng này cho mẫu số liệu ghép nhóm.
1. KHOẢNG BIẾN THIÊN
HĐ1 và Khung kiến thức, Dẫn dắt và đưa ra định nghĩa khoảng biến thiên cho mẫu số liệu ghép nhóm., GV hướng dẫn HS thực hiện như SGK. Gợi ý HĐ1: a) Không thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc do ta không biết các giá trị $x_i$. b) Giá trị bé nhất các $x_i$ có thể nhận là 30; giá trị lớn nhất của các $x_i$ thuộc $[38; 40)$. c) HS có thể đưa ra các phương án khác nhau. Hai phương án hay gặp là như định nghĩa ($40 - 30 = 10$) và phương án chọn điểm đại diện như trong Mục II.
Giúp HS hiểu được rằng khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc., Gợi ý. Giả sử dãy $x_1, x_2,..., x_n$ đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó giá trị chính xác của khoảng biến thiên là $x_n - x_1$. Do $x_n < a_{k+1}$ và $x_1 \ge a_1$ nên $x_n - x_1 < a_{k+1} - a_1$, hay khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.
Ví dụ 1, Hướng dẫn HS tính khoảng biến thiên cho mẫu số liệu ghép nhóm và đưa ra kết luận, GV hướng dẫn HS thực hiện như SGK.

về mức độ phân tán của mẫu số liệu dựa trên kết quả tính được. Luyện tập 1, HS luyện tập tính khoảng biến thiên cho mẫu số liệu ghép nhóm. GV cho HS thực hiện v

$Vây nếu dựa vào khoảng biến thiên để kết luận thì mẫu số liệu năm 2021 phân tán hơn. – Dựa vào khoảng tứ phân vị: Với mẫu số liệu năm 2021: $Q_1 = 33,375; Q_2 \$

Bài 10. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN (2 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Tính được phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Hiểu được ý ngh

2. Về năng lực, phẩm chất
– Rèn luyện năng lực giao tiếp toán học thông qua việc đọc mẫu số liệu ghép nhóm; rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua việc tính toán phương sai, độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm và áp dụng vào các bài toán đo mức độ rủi ro.
– Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
– HS cần ôn lại cách tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm đã được học trong Chương trình Toán lớp 10 và ý nghĩa của các số đặc trưng đó trong việc đo mức độ phân tán.
– Trong một số tài liệu, người ta còn định nghĩa phương sai và độ lệch chuẩn như sau:
$\hat{s}^2 = \frac{m_1(x_1 - \bar{x})^2 + ... + m_k(x_k - \bar{x})^2}{n-1}, \hat{s} = \sqrt{\hat{s}^2}$
Để so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu thì dùng định nghĩa này và định nghĩa đưa ra trong SGK là như nhau. Tuy nhiên, định nghĩa như SGK tự nhiên hơn và dễ hiểu hơn với HS.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết. Cụ thể như sau:
– Tiết 1: Mục 1;
– Tiết 2: Mục 2.
2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học
Tiết 1
HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN
Nêu vấn đề, Khơi gợi động cơ, đưa ra một tình huống dẫn đến nhu cầu cần định nghĩa độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để xấp xỉ cho độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc mà ta không có., GV giới thiệu bài toán như SGK và có thể nhắc lại về phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm đã được học trong Chương trình Toán lớp 10.

1. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN HĐ1, Dẫn dắt để đưa ra định nghĩa phương sai, độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm., GV cho HS thực hiện như SGK. Gợi ý: a) Kh

Tiết 2 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 2. SỬ DỤNG PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN ĐO ĐỘ RỦI RO Ví dụ 2, Giúp HS thấy được vai trò của phương sai, độ lệc

Phần B: Tự luận. Các bài tập cuối chương gồm 4 bài mang tính tổng hợp. Với thời lượng 1 tiết, GV có thể tổng kết kiến thức của chương, cho HS trả lời một số câu

$Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1 = 6$. Tứ phân vị thứ ba là $Q_3 = 6,5 + \frac{30 - 25}{10} \cdot 0,5 = 6,75$. Do đó, khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = 6,75 - 6 = 0,75$.$

Bài 11. Nguyên hàm
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
Cùng với phép tính vi phân, phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ bản của Giải tích. Chương này trình bày khái niệm, tính chất cơ bản của nguyên hàm và tích phân, cũng như ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể. Ở đây, khái niệm tích phân được định nghĩa thông qua khái niệm nguyên hàm nhờ công thức Newton-Leibniz.
Một trong những mục đích của chương này là ứng dụng tích phân để xây dựng các công thức tính thể tích vật thể trong Hình học, mà HS thường phải thừa nhận trước đây. Điều này thể hiện rõ tính tích hợp của Chương trình GDPT môn Toán năm 2018 (ở đây là ứng dụng của Giải tích trong Hình học).
2 Cấu tạo chương
Chương này gồm 3 bài học và 2 tiết ôn tập chương, được thực hiện trong 15 tiết. Cụ thể như sau:
Bài 11. Nguyên hàm, 5 tiết
Bài 12. Tích phân, 4 tiết
Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân, 4 tiết
Bài tập cuối chương IV, 2 tiết
3 Một số điểm cần lưu ý
Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số là bài toán ngược của bài toán tìm đạo hàm của một hàm số nhưng phức tạp hơn nhiều. Tuy nhiên, theo quy định và tinh thần chung của Chương trình là "tinh giản, thiết thực", SGK Toán 12 chỉ yêu cầu tìm nguyên hàm của những hàm số đơn giản có dạng tổng, hiệu của những hàm số sơ cấp đơn giản hoặc tích của hàm số sơ cấp đơn giản với một hằng số, nhờ bảng nguyên hàm của những hàm số sơ cấp đơn giản này (suy ra từ bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp đơn giản đã học ở lớp 11) và các tính chất cơ bản của nguyên hàm. SGK Toán 12 không trình bày các phương pháp tổng quát tìm nguyên hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp lấy nguyên hàm từng phần), không có những bài tập lắt léo về tìm nguyên hàm.

– Vì lí do sư phạm, khái niệm tích phân trong SGK Toán 12 không được định nghĩa dựa vào giới hạn của tổng tích phân như ở các giáo trình Giải tích ở bậc Đại học, mà định nghĩa tích phân thông qua nguyên hàm nhờ công thức Newton-Leibniz. Định nghĩa này có ưu điểm là đơn giản, dễ tiếp thu và thuận lợi trong thực hành khi tính tích phân, nhưng có hạn chế là không bộc lộ được rõ bản chất, ý nghĩa thực sự của tích phân.
– Một hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ sẽ có nguyên hàm (và do đó sẽ có tích phân) trên đoạn đó. Có thể chứng minh được rằng, khi đó hàm số $F(x)=\int\limits_{a}^{x}{f(t)\text{d}t,\ a\le x\le b}$, là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$.
– Theo tinh thần “tinh giản, thiết thực” và yêu cầu của Chương trình, SGK Toán 12 chỉ có những bài tập đơn giản về tìm nguyên hàm, tính tích phân, dựa trên Bảng nguyên hàm cơ bản và các tính chất cơ bản của nguyên hàm, tích phân. SGK Toán 12 không trình bày các phương pháp tính tích phân. Tuy nhiên, SGK lại nhấn mạnh đến những ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, cũng như là chú trọng đến ứng dụng tích phân để xây dựng lại các công thức tính thể tích của các hình hình học trong Hình học không gian (mà HS đã học ở phần Hình học trực quan ở cấp THCS và ở phần Hình học lớp 11, nhưng ở đó HS thường phải thừa nhận các công thức này).
– Do trong Chương trình (và do đó trong SGK Toán 12) không đề cập đến vấn đề tương giao của các đồ thị hàm số, nên để thuận lợi cho HS trong việc xác định các cận của tích phân tương ứng, khi xét hình phẳng (kín) giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$, SGK thường cho thêm hai đường thẳng $x=a$ và $x=b$, mặc dù đôi khi việc cho thêm hai đường thẳng này là không cần thiết (vì hai giá trị này của $x$ chính là các hoành độ giao điểm (nhỏ nhất và lớn nhất) của hai đồ thị đã cho).
– Để thuận lợi trong việc tìm nguyên hàm (và tính tích phân) của các hàm số cụ thể, SGK Toán 12 có giới thiệu khái niệm hàm số luỹ thừa $y={{x}^{\alpha }}$, công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của nó. Lưu ý rằng khi $\alpha$ không nguyên, tập xác định của hàm số luỹ thừa này là khoảng $\left(0;+\infty \right)$ và ta có công thức tìm nguyên hàm:
$$\int{{{x}^{\alpha }}}\text{d}x=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}+C\ \ \left(\alpha \ne -1\right).$$
Chú ý rằng, công thức này đúng khi $x>0$. Nếu $\alpha >0$, bằng cách coi ${{0}^{\alpha }}=0$ ta có thể chứng minh công thức trên cũng đúng khi $x\ge 0$. Nói riêng, ta có thể viết $\sqrt[n]{{{x}^{m}}}={{x}^{\frac{m}{n}}}$ với $m,n\in {{\mathbb{N}}^{\ast }},x\ge 0$.

Tuy nhiên, trong SGK Toán 12 để đơn giản cho HS (để HS có thể áp dụng trực tiếp công thức đã học mà không cần lí giải gì thêm) nên khi xét nguyên hàm hoặc tích phân của những hàm có dạng n y x (chẳng hạn x ) ta thường hạn chế xét trên các khoảng/đoạn nằm trong ffi f (để không chứa điểm x 0). Mặc dù về mặt toán học, những hạn chế này thực ra là không thật cần thiết.
B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 11. NGUYÊN HÀM (5 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Nhận biêғt được khái niệm nguyên hàm của một hàm số. - Tìm được nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp. - Vận dụng được khái niệm nguyên hàm vào giải quyết một số bài toán từ thực tiễn.
2. Về năng lực, phẩm chất
Rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực tiễn liên
quan đến khái niệm nguyên hàm. - Bồi dưỡng hứng thú học tập, ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng
tạo cho HS.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
- Về mặt nội dung, không có nhiều khác biệt giữa cách trình bày khái niệm nguyên
hàm ở đây và SGK Toán 12 trước đây. Tuy nhiên, theo tinh thần của Chương trình mới, chúng tôi nhấn mạnh đến ứng dụng của nguyên hàm trong các bài toán thực tế và giảm nhẹ mức độ của các bài tập thuần tuý toán liên quan đến khái niệm nguyên hàm. Nói riêng, để giảm bớt tính hàn lâm theo tinh thần của Chương trình, chúng tôi không đưa vào chứng minh dạng tường minh của họ nguyên hàm và các tính chất cơ bản. - Ở bài này, khác với SGK Toán 12 trước đây, việc tìm nguyên hàm của một hàm số
chỉ dừng ở việc vận dụng các phép toán tổng, hiệu và nhân với một hằng số từ các nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản. - GV có thể sử dụng một số phần mềm toán học như GeoGebra để tìm nguyên hàm
của một số hàm số đơn giản. Nếu có điều kiện, GV có thể hướng dẫn HS thực hành để kiểm chứng kết quả nhanh chóng và tăng cường năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

– Chuẩn bị: GV: Chuẩn bị thông tin về một số mô hình thực tế liên quan đến ứng dụng của nguyên hàm (liên hệ đến khái niệm và các phép toán về đạo hàm). HS: Ôn l

1. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ
HĐ1. Nhận biết khái niệm nguyên hàm, Hình thành khái niệm nguyên hàm. Cần lưu ý cho HS nhận biết đẳng thức $F'(x) = f(x)$ trong định nghĩa nguyên hàm., – HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ1. – GV ghi bảng hoặc trình chiếu kết quả và giới thiệu sơ bộ về đẳng thức $F'(x) = f(x)$.
Khung kiến thức, Giới thiệu khái niệm nguyên hàm của một hàm số., GV cần làm rõ đẳng thức $F'(x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc $K$.
Chú ý, Giúp HS nhận biết khái niệm nguyên hàm trên một đoạn, một nửa khoảng., GV cần làm rõ sự khác biệt của đẳng thức $F'(x) = f(x), \forall x \in K$, trong trường hợp $K$ là một khoảng hay một nửa khoảng, một đoạn.
Ví dụ 1, Rèn cho HS kĩ năng vận dụng định nghĩa., – Lưu ý HS thực hiện lần lượt tính đạo hàm của các hàm số đã cho. – Yêu cầu HS đối chiếu định nghĩa nguyên hàm để kết luận và giải thích được cho kết luận đưa ra.
Luyện tập 1, Củng cố kĩ năng vận dụng định nghĩa nguyên hàm., HS tự làm tại lớp. Đáp số: $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
HĐ2. Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số, Giúp HS nhận biết tập hợp các nguyên hàm của một hàm số., HS thực hiện lần lượt các yêu cầu trong HĐ2. Từ đó GV cho HS thấy tập hợp các nguyên hàm của hàm số $f(x)$ đã cho có dạng $F(x) + C$, với $C$ là hằng số và $F(x)$ là một nguyên hàm nào đó của $f(x)$.
Khung kiến thức, Giới thiệu cho HS khái niệm họ nguyên hàm của một hàm số: Định nghĩa và kí hiệu., GV cần làm rõ kí hiệu nguyên hàm $\int f(x)\mathrm{d}x$ và tập hợp $F(x) + C$, với $C$ là hằng số và $F(x)$ là một nguyên hàm nào đó của $f(x)$.

Chú ý, Giới thiệu sự tồn tại của nguyên hàm và quy tắc thực hành tìm nguyên hàm., Lưu ý cho HS sự tồn tại của nguyên hàm trên một khoảng và cách tìm họ nguyên h

một hàm số với một hằng số khác 0. Luyện tập 3, Củng cố kĩ năng tìm nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số., HS tự làm tại lớp. Gợi ý: a) $F'(x) = x^n =

Ví dụ 5, Rèn luyện năng lực vận dụng tổng hợp các kiến thức, kĩ năng được học để giải quyết bài toán trong tình huống mở đầu., Cần làm rõ cho HS các bước giải:

Tiết 3 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP a) Nguyên hàm của hàm số luỹ thừa Phần mở đầu, Giới thiệu cho HS

$| Luyện tập 5 | Củng cố kĩ năng tìm nguyên hàm của hàm số luỹ thừa. | HS tự làm tại lớp. Đáp số: a) $\int \frac{1}{x^4} dx = -\frac{1}{3x^3} + C$; b) $\int x\sq$

Chữa bài tập, Rèn luyện năng lực vận dụng các nội dung trong tiết học., Tuỳ tiến độ thực tế của lớp học, GV cho HS chữa Bài tập 4.4 trong SGK hoặc giao bài tập

$c) $\int \left( 2 \cdot 3^x - \frac{1}{3} \cdot 7^x \right) dx = \frac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} - \frac{7^x}{3 \ln 7} + C.$ Bảng nguyên hàm, Giúp HS hệ thống hoá ngu$

$IV. ĐÁP SỐ/ HƯỚNG DẪN/ LỜI GIẢI 4.1. a) $F'(x) = \ln x + x(\ln x)' = \ln x + 1 = f(x)$ với mọi $x \in (0; +\infty)$ nên hàm số $F(x) = x \ln x$ là một nguyên hà$

$Đáp số: $\int \sqrt{x} \left(7x^2 - 3\right) dx = 2 \left(x^3 - x\right) \sqrt{x} + C$. c) Khai triển $\left(2x + 1\right)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ và chia cho $x^2$.$

Bài 12. TÍCH PHÂN (4 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nhận biết được định nghĩa và tính chất của tích phân. – Tính được tích phân trong những trường

2. Về năng lực, phẩm chất – Rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học và năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua mô hì

Ví dụ 1, Giúp HS nhận dạng hình thang cong trong những tình huống đơn giản thường gặp., HS làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. HĐ1. Diện tích của hình thang, Gợi

$| Luyện tập 1 | Củng cố kĩ năng tính tích phân. | – HS tự làm tại lớp. GV gọi HS lên bảng. – GV nhận xét bài làm và tổng kết lại phương pháp giải. HD. a) $\int\$

$Vậy $\int\limits_1^3 {(2x + 1)} dx = {S_{ABCD}} = 10$. b) Ta có $y = \sqrt {4 - {x^2}} $ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc toạ$

$$\int\limits_0^{\frac{1}{2}}(-4t + 20),\mathrm{d}t = 5,(\text{m})$. Chú ý: Để tính tích phân này, ở đây ta chưa sử dụng tính chất tích phân của một tổng (sẽ học$

$| | | b) $\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right){\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - 3\ln x} \right)} \right|}1^2$ $ = \left( {\$

$| | | $\frac{1}{12-6}\int\limits_6^{12} T(t)dt = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} (1,5t+11)dt$ $= \frac{1}{6}\left(\frac{3}{4}t^2 + 11t\right)\bigg|_6^{12} = 24,5,$

$b) Ta có $y = \sqrt{9 - x^2}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc toạ độ $O$ và bán kính 3. Do đó tích phân cần tính là diện tíc$

$Vậy trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$, vật dịch chuyển sang bên trái được 4,5 m so với vị trí tại thời điểm $t = 1$ (giây) (Trong quá trình chuyển động, lú$

Vậy trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$, vật dịch chuyển sang bên trái được 4,5 m so với vị trí tại thời điểm $t = 1$ (giây) (Trong quá trình chuyển động, lúc thì vật đi sang trái, lúc thì đi sang phải, nhưng tại thời điểm $t = 4$ (giây) thì vật có vị trí nằm ở phía bên trái và cách vị trí của vật tại thời điểm $t = 1$ (giây) một khoảng là 4,5 m).
b) Ta có
$$ \int_{1}^{4} |v(t)| \mathrm{d}t = \int_{1}^{4} |t^2 - t - 6| \mathrm{d}t = \int_{1}^{3} |t^2 - t - 6| \mathrm{d}t + \int_{3}^{4} |t^2 - t - 6| \mathrm{d}t $$
$$ = \int_{1}^{3} (-t^2 + t + 6) \mathrm{d}t + \int_{3}^{4} (t^2 - t - 6) \mathrm{d}t $$
$$ = \left( \frac{-1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 6t \right)\bigg|{1}^{3} + \left( \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 - 6t \right)\bigg|{3}^{4} = \frac{22}{3} + \frac{17}{6} = \frac{61}{6}. $$
Vậy tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$ (giây) (tính cả quãng đường lúc đi sang trái, quãng đường lúc đi sang phải) là $\frac{61}{6}$ m.
4.12. a) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm là
$$ \int_{100}^{101} (-0,0005x + 12,2) \mathrm{d}x = \left( -\frac{1}{4000}x^2 + 12,2x \right)\bigg|_{100}^{101} = 12,14975 \text{ (triệu đồng)}. $$
b) Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm là
$$ \int_{100}^{110} (-0,0005x + 12,2) \mathrm{d}x = \left( -\frac{1}{4000}x^2 + 12,2x \right)\bigg|_{100}^{110} = 121,475 \text{ (triệu đồng)}. $$
4.13. Vận tốc trung bình (đối với $r$) của động mạch trong khoảng $0 \le r \le R$ là
$$ \frac{1}{R - 0} \int_{0}^{R} k(R^2 - r^2) \mathrm{d}r = \frac{1}{R} \left( kR^2r - k\frac{r^3}{3} \right)\bigg|_{0}^{R} = \frac{1}{R} \left( kR^3 - k\frac{R^3}{3} \right) = kR^2 - \frac{kR^2}{3} = \frac{2}{3}kR^2. $$
Xét hàm số $v(r) = k(R^2 - r^2)$, $0 \le r \le R$. Ta có $v'(r) = -2kr$; $v'(r) = 0 \Leftrightarrow r = 0$.
Suy ra vận tốc lớn nhất của dòng máu là $v_{CD} = kR^2$.
Vậy vậy tốc lớn nhất của dòng máu lớn hơn vận tốc trung bình 1,5 lần.

Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Sử dụng tích phân để tính diện tích của một số hình phẳng. Sử dụng tích phân để tín

$| | | $= \left(4x - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^2 + \left(\frac{x^3}{3} - 4x\right)\bigg|_2^3 = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$. | |---|---|---| | T$

| Vận dụng 1 | Vận dụng tổng hợp kiến thức, kĩ năng trong bài vào giải quyết tình huống thực tế. | HS tự làm tại lớp. HD. Xét phương trình hoành độ giao điểm: $

$| | | $S(x)=\frac{S_1}{b^2}x^2$. Thể tích của khối chóp cụt đều này là $V=\int_{a}^{b} S(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} \frac{S_1}{b^2} x^2 \mathrm{d} x=\left.\fr$

$| | trong bài vào giải quyết tình huống thực tế. | HD. a) Đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B(h; R)$ và điểm $C(0; r)$ có phương trình là $$y = \frac{R - r}{h}x + r$

$4.15. a) Vì $e^x > 0 > x^2 - 1, \forall x \in (-1; 1)$ nên diện tích hình phẳng cần tính là $S = \int_{-1}^{1} |e^x - x^2 + 1| dx = \int_{-1}^{1} (e^x - x^2 + 1$

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV I. GỢI Ý DẠY HỌC – GV hệ thống hoá kiến thức lí thuyết (có thể chuẩn bị slide tổng kết kiến thức). – GV hệ thống các dạng toán cơ bản và

$B. Tự luận 4.28. a) $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}-\ln |x|+C$. b) $F(x)=\frac{2}{5} x^{2} \sqrt{x}+3 \sin x+2 \cot x+C$. 4.29. Ta có : $F(x)=2 \sin x-\cot x+C$. $F\lef$

$4.34. a) $V = \pi \int\limits_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 ,dx = \frac{16}{15}\pi$. b) $V = \pi \int\limits_{2}^{4} \left(\sqrt{25 - x^2}\right)^2 ,dx = \pi \int\limits$

Chương V. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A TỔNG QUAN
1 Vị trí, vai trò của chương
Tư tưởng của phương pháp toạ độ trong không gian là đại số hoá hình học, cụ thể là thông qua một hệ trục toạ độ, thể hiện các khái niệm và tính chất của hình học theo ngôn ngữ của đại số, từ đó dùng phương pháp của đại số để nghiên cứu hình học.
Cùng với nội dung phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, nội dung phương pháp toạ độ trong không gian giúp HS nhận ra: Mỗi khoa học trước hết là một ngôn ngữ để diễn đạt các sự kiện của tự nhiên và xã hội; mỗi khoa học bao gồm hệ thống khái niệm, kết quả và phương pháp. Phương pháp toạ độ trong không gian biểu hiện rõ ưu điểm và hạn chế của ngôn ngữ, phương pháp hình học so với ngôn ngữ, phương pháp đại số trong những tình huống cụ thể.
Chương này cũng giúp HS củng cố kiến thức hình học không gian đã được học, bước đầu làm quen với việc xây dựng hình học bằng phương pháp đại số.
2 Cấu tạo chương
Chương này gồm 4 bài học và 1 bài ôn tập chương, được thực hiện trong 18 tiết. Cụ thể như sau:
Bài 14. Phương trình mặt phẳng 6 tiết
Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian 5 tiết
Bài 16. Công thức tính góc trong không gian 2 tiết
Bài 17. Phương trình mặt cầu 3 tiết
Bài tập cuối chương V 2 tiết
3 Một số điểm cần lưu ý
Cần chú ý đến việc cho HS củng cố các khái niệm và tính chất của hình học không gian đã được học ở lớp 11.
Đối với từng tình huống cụ thể giúp HS nhận ra ưu điểm và hạn chế giữa ngôn ngữ, phương pháp hình học và ngôn ngữ, phương pháp đại số: Chẳng hạn các bài toán chứng minh quan hệ vuông góc, tính khoảng cách, tính góc thường là các bài toán khá khó trong hình học không gian, nhưng chúng trở nên khá cơ bản trong không gian toạ độ; ngược lại, chẳng hạn khái niệm góc phẳng nhị diện khó thể hiện trong không gian toạ độ (và không được đề cập trong Chương trình).

B GIỚI THIỆU CHI TIẾT CÁC BÀI HỌC
Bài 14. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (6 tiết)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức, kĩ năng
Học xong bài này, HS cần đạt được các yêu cầu sau: - Nhận biết được phương trình mặt phẳng. - Viết được phương trình mặt phẳng trong các trường hợp: qua một điểm và biết
vectơ pháp tuyến (VTPT), qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương (VTCP), qua ba điểm không thẳng hàng.
Nhận biết được hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc. - Biết tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Biết vận dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.
2. Về năng lực, phẩm chất
Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán (máy tính cầm tay, thước kẻ, ê ke,
hoặc phần mềm vẽ hình). - Năng lực giải quyết vấn đề toán học (xuyên suốt bài học). - Năng lực mô hình hoá toán học (các bài tập vận dụng trong bài học). - Các phẩm chất trách nhiệm, chăm chỉ, trung thực (xuyên suốt quá trình học tập và
báo cáo kết quả học tập, phẩm chất yêu nước (thông qua bài tập về cối xay lúa, HS có thể tìm hiểu thêm về công việc xay lúa, giã gạo trước đây).
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Nhấn mạnh cho HS điểm thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi toạ độ của điểm đó thoả
mãn phương trình mặt phẳng. - Chương trình và SGK không đề cập đến phương trình tham số của mặt phẳng. Do đó,
phương trình tổng quát của mặt phẳng có khi được nói gọn là phương trình mặt phẳng.

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thời lượng Dự kiến phân bổ thời gian: 6 tiết. Cụ thể như sau: – Mục 1: 1 tiết. Mục 2: 0,5 tiết. Mục 3: 1,5 tiết. Mục 4: 1 tiết. Mục 5: 0,5

HĐ2, Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước., – GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. – Có thể nêu câu hỏi gợi ý HS: + Hai vectơ vuông góc với nha

Khung kiến thức, – Khái niệm cặp VTCP của mặt phẳng. – Quan hệ giữa cặp VTCP và VTPT của mặt phẳng., – GV trình bày, giảng giải cho HS. – HS ghi nhớ cách tìm VT

Khung kiến thức, Nêu dạng của phương trình tổng quát của mặt phẳng., GV trình bày, giảng giải cho HS. Chú ý, Chiều ngược lại của kết luận về phương trình tổng q

Ví dụ 6, HS học kĩ năng lập phương trình của mặt phẳng đi qua một điểm và biết VTPT., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Luyện tập 6, HS rèn luyện kĩ nă

Ví dụ 8, HS học kĩ năng viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng., GV trình bày, giảng giải cho HS. Luyện tập 8, – HS rèn luyện kĩ năng viết

$Phương trình mặt phẳng $\left(M_1M_2M_3\right)$ là: $x + y - 2z = 0$. c) Điểm $M(\cos t - \sin t; \cos t + \sin t; \cos t)$ luôn thuộc mặt phẳng $\left(M_1M_2M_$

Phương trình mặt phẳng $\left(M_1M_2M_3\right)$ là: $x + y - 2z = 0$. c) Điểm $M(\cos t - \sin t; \cos t + \sin t; \cos t)$ luôn thuộc mặt phẳng $\left(M_1M_2M_3\right)$ với mọi $t$.
4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU
HD8, Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau., – GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. – GV có thể nhắc lại hoặc cho HS nhắc lại khái niệm góc giữa hai mặt phẳng.
Khung kiến thức, Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Chú ý, Một cách tìm cặp VTCP từ quan hệ vuông góc., – GV trình bày, giảng giải cho HS. – GV có thể nêu hoặc cho HS rút ra kết luận: Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau thì nhận hai VTPT tương ứng của hai mặt phẳng đó làm cặp VTCP.
Ví dụ 9, HS học kĩ năng nhận biết hai mặt phẳng vuông góc với nhau., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Luyện tập 9, HS rèn kĩ năng nhận biết hai mặt phẳng vuông góc với nhau., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Giải. Ta có $\vec{n} = (3;1;-1)$ là một VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$, $\vec{n'} = (9;3;-3)$ là một VTPT của mặt phẳng $(\beta)$. Vì $\vec{n} \cdot \vec{n'} = 27 + 3 + 3 = 33 \neq 0$ nên hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ không vuông góc với nhau.
Ví dụ 10, HS học kĩ năng viết phương trình mặt phẳng trong bài toán gắn với quan hệ vuông góc., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Vận dụng 3, HS vận dụng kiến thức đã học về phương trình mặt phẳng và quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng vào giải quyết tình huống thực tiễn., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Giải. Sàn của căn phòng là hình tứ giác OABC nằm trong mặt phẳng (Oxy). Gọi (P), (Q), (R), (S) tương ứng là các mặt phẳng chứa các bức tường ứng với các chân tường OA, AB, BC, CO.

| | | a) Mặt phẳng chứa bức tường $(P)$ có phương trình là $y = 0$. Mặt phẳng chứa bức tường $(Oyz)$ có phương trình là $x = 0$. Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình

$b) Vì $5 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) - 4 \cdot 5 + 6 = -15 \neq 0$ và $10 \cdot 1 + 4 \cdot (-3) - 2 \cdot 5 + 12 = 0$ nên điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$$

$| Luyện tập 11 | HS rèn kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. | GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Giải. a) Một VTPT của $(P)$ là $\ve$

$5.2. a) Ta có $A\left( {1; - 1;3} \right),,,B\left( {0;2;4} \right),,,D\left( {2; - 1;1} \right)$ và $A'\left( {0;1;2} \right)$. Vì $\overrightarrow {DC} = \ove$

5.2. a) Ta có $A\left( {1; - 1;3} \right),,,B\left( {0;2;4} \right),,,D\left( {2; - 1;1} \right)$ và $A'\left( {0;1;2} \right)$.
Vì $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right) = \left( {{x_C} - 2;{y_C} + 1;{z_C} - 1} \right) \Rightarrow C = \left( {1;2;2} \right)$.
Vì $\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} = \left( { - 1;2; - 1} \right) = \left( {{x_{B'}};{y_{B'}} - 2;{z_{B'}} - 4} \right) \Rightarrow B' = \left( { - 1;4;3} \right)$.
Vì $\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AA'} = \left( { - 1;2; - 1} \right) = \left( {{x_{D'}} - 2;{y_{D'}} + 1;{z_{D'}} - 1} \right) \Rightarrow D' = \left( {1;1;0} \right)$.
b) Ta có $\left[ {\overrightarrow {CB'} ,\overrightarrow {CD'} } \right] = \left( { - 3; - 4;2} \right)$ là một VTPT của mặt phẳng $\left( {CB'D'} \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( {CB'D'} \right)$ là
$- 3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0.$
5.3. Một VTPT của mặt phẳng (Q) là ${\vec n_Q} = \left( {3;2; - 1} \right)$, một VTPT của mặt phẳng (R) là ${\vec n_R} = \left( {1;1; - 1} \right)$. Một VTPT của mặt phẳng (P) là: $\vec n = \left[ {{{\vec n}_Q},{{\vec n}_R}} \right] = \left( { - 1;2;1} \right) = - \left( {1; - 2; - 1} \right)$.
Phương trình mặt phẳng (P) là:
$1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 1\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z + 2 = 0.$
5.4. Trục Ox có một VTCP là $\vec i = \left( {1;0;0} \right)$, một VTPT của mặt phẳng (Q) là ${\vec n_Q} = \left( {1;2; - 3} \right)$.
Một VTPT của mặt phẳng (P) là: $\vec n = \left[ {\vec i,{{\vec n}_Q}} \right] = \left( {0;3;2} \right)$.
Phương trình mặt phẳng (P) là:
$0\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 3} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 7 = 0.$
5.5. Khoảng cách từ gốc toạ độ $O\left( {0;0;0} \right)$ đến (P) là: $\operatorname{d}\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \frac{1}{3}$.
5.6. $\left( P \right):x + y + z + 2 = 0$, $\left( Q \right):x + y + z + 6 = 0$ là hai mặt phẳng có chung một VTPT là $\vec n = \left( {1;1;1} \right)$ và $A\left( {0; - 1; - 1} \right)$ thuộc (P) nhưng không thuộc (Q), do đó (P) // (Q).
Khoảng cách giữa (P) và (Q) là: $\operatorname{d}\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 1 + 6} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.
5.7. a) Một VTPT của (P) là ${\vec n_p} = \left( {1;3; - 1} \right)$, một VTPT của (Q) là ${\vec n_Q} = \left( {1; - 1; - 2} \right)$.
Vì ${\vec n_p} \cdot {\vec n_Q} = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)$.

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian (5 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Học xong bài này, HS cần đạt được các yêu cầu sau: – Nhận biết đ

2. Về năng lực, phẩm chất Năng lực tư duy và lập luận toán học (xuyên suốt bài học). Năng lực giao tiếp toán học (xuyên suốt bài học). Năng lực sử dụng công cụ,

HĐ1, Hình thành khái niệm VTCP của một đường thẳng., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Khung kiến thức, Khái niệm VTCP của đường thẳng., GV trình bày,

trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm cho trước và biết VTCP. Luyện tập 2, HS rèn kĩ năng nhận biết một điểm thuộc đường thẳng và lập phương trình tham

Ví dụ 4, HS học kĩ năng viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng., GV trình bày, giảng giải cho HS. Luyện tập 4, HS rèn kĩ năng viết

$$AB$ là $\begin{cases} x = 2 \ y = 1 + t \ z = 3 + t. \end{cases}$ Vận dụng 1, Vận dụng hiểu biết về phương trình đường thẳng để giải quyết bài toán có tính thự$

Vận dụng 2, HS vận dụng hiểu biết về phương trình đường thẳng trong một tình huống mang tính thực tiễn., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Giải. Hai con đường thuộc hai đường thẳng lần lượt có VTCP là $\overrightarrow{u_1} = (1;1;0), \overrightarrow{u_2} = (-2;2;0)$. Ta có $\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0$ nên hai con đường thuộc hai đường thẳng vuông góc với nhau.
3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ6, Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng., – GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. – Ở phần b, GV có thể gợi ý HS xét đường thẳng $d$ qua $A_1$ và song song với $\Delta_1$. Khi đó, từ giả thiết ta có ba đường thẳng $\Delta_1, A_1A_2, d$ cùng vuông góc với giá của $\left[ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2} \right]$ và cùng đi qua $A_1$. Sau đó GV có thể nêu các câu hỏi gợi ý sau: + Ba đường thẳng trên cùng thuộc một mặt phẳng hay không? + Mặt phẳng đó có chứa điểm $A_2$ hay không, có chứa đường thẳng $\Delta_2$ hay không?
Khung kiến thức, Tiêu chuẩn nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Ví dụ 8, HS học kĩ năng nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng., GV trình bày, giảng giải cho HS.
Luyện tập 8, HS rèn kĩ năng nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Giải. Hai đường thẳng có cùng một VTCP là $(1;-2;3)$ và điểm $A(3;0;1)$ thuộc đường thẳng $\Delta_1$ nhưng không thuộc $\Delta_2$. Do đó hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
Ví dụ 9, HS học kĩ năng nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện.

$Luyện tập 9, HS rèn kĩ năng nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng., GV tổ chức, giám sát, hỗ trợ HS thực hiện. Giải. a) Hai đường thẳng $\Delta_1, \De$

$xét vô nghiệm. Mặt khác, một VTCP của $\Delta_1$ là $(2;1;-1)$ và một VTCP của $\Delta_2$ là $(1;2;3)$ hai vectơ này không cùng phương. Vậy hai đường thẳng $\De$

$5.14. a) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A(1;3;2)$ và có một VTCP là $\vec{u} = (2;-1;3)$, đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B(8;-2;2)$ và có một VTCP là $\vec{v} =$

5.14. a) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A(1;3;2)$ và có một VTCP là $\vec{u} = (2;-1;3)$, đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B(8;-2;2)$ và có một VTCP là $\vec{v} = (-1;1;2)$. Đặt $\vec{n} = \left[ \vec{u},\vec{v} \right] = (-5;-7;1)$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (7;-5;0) \Rightarrow \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = - 35 + 35 = 0$, mà $\vec {u},,\vec {v}$ không cùng phương nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.
b) Mặt phẳng chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ nhận $\vec{n}$ làm một VTPT và mặt phẳng đó đi qua điểm $A$ nên phương trình mặt phẳng cần tìm là:
$- 5(x - 1) - 7(y - 3) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 5x + 7y - z - 24 = 0.$
5.15. a) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A(1;3;2)$ và có một VTCP là $\vec{u} = (3;1;2)$, đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B(1;-1;0)$ và có một VTCP là $\vec{v} = (3;1;2)$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (0;-4;-2),,\vec{u} = \vec{v}$ và $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương với $\vec{u}$ nên hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.
b) Đặt $\vec{n} = \left[ \vec{u},\overrightarrow{AB} \right] = 6(1;1; - 2)$.
Mặt phẳng chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ nhận $\vec{n}$ làm một VTPT và mặt phẳng đó đi qua điểm $A$ nên phương trình mặt phẳng cần tìm là:
$1(x - 1) + 1(y - 3) - 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0.$
5.16. Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A(-1;1;3)$ và có một VTCP là $\vec{u} = (1;0;2)$, đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B(-1;2;1)$ và có một VTCP là $\vec{v} = (2;1;3)$. Đặt $\vec{n} = \left[ \vec{u},\vec{v} \right] = (-2;1;1)$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (0;1; - 2) \Rightarrow \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 - 2 = - 1 \ne 0$ suy ra $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.
5.17. a) Hai con đường thuộc hai đường thẳng lần lượt có VTCP là $\vec{u}_1 = (2;-1;3)$, $\vec{u}_2 = (-1;1;1) \Rightarrow \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$. Do đó hai con đường thuộc hai đường vuông góc với nhau.
b) Nút giao thông trong hình vẽ là nút giao thông khác mức vì độ cao của các đường giao thông khác nhau để tránh xung đột.
5.18. a) Mục tiêu đặt tại $M$, ta có $\overrightarrow{AM} = \left(6;\frac{1}{2};17\right)$ không cùng phương với $\vec{v} = (2;1;6)$ nên viên đạn bắn không trúng mục tiêu.

Bài 16. Công thức tính góc trong không gian I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Học xong bài này, HS cần đạt được các yêu cầu sau: – Biết tính góc giữa hai đườ

III. GỢI Ý DẠY HỌC 1. Thời lượng Dự kiến phân bổ thời gian: 2 tiết. Cụ thể như sau: – Tiết 1: Các mục 1 và 2. – Tiết 2: Mục 3 và bài tập cuối bài học. 2. Thực h

giữa đường thẳng và mặt phẳng với góc giữa các VTCP, VTPT tương ứng., – GV có thể nhắc lại hoặc cho HS nhắc lại khái niệm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. – G

Ví dụ 4, HS học kĩ năng tính góc giữa hai mặt phẳng., GV trình bày, giảng giải cho HS. Vận dụng, HS vận dụng hiểu biết về góc giữa hai mặt phẳng vào một tình hu

$5.22. Đường thẳng $\Delta$ có một VTCP là $\vec{u}=\left(-1;2;3\right)$, mặt phẳng $\left(P\right)$ có một VTPT là $\vec{n}=\left(1;1;1\right)$. Ta có $\sin \le$

5.22. Đường thẳng $\Delta$ có một VTCP là $\vec{u}=\left(-1;2;3\right)$, mặt phẳng $\left(P\right)$ có một VTPT là $\vec{n}=\left(1;1;1\right)$. Ta có $\sin \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\vec{u},\vec{n}\right)\right|=\frac{2\sqrt{42}}{21}\Rightarrow \left(\Delta ,\left(P\right)\right)\approx 38,{1}^{\circ }.$
5.23. Chọn hệ trục $Oxyz$ sao cho $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, điểm $A$ thuộc tia $Ox$, điểm $B$ thuộc tia $Oy$, điểm $S$ thuộc tia $Oz$.
Ta có $OA=OB=OC=115\sqrt{2}$, $OS=7\sqrt{439}$
$\Rightarrow A\left(115\sqrt{2};0;0\right)$, $B\left(0;115\sqrt{2};0\right)$, $C\left(-115\sqrt{2};0;0\right)$, $S\left(0;0;7\sqrt{439}\right)$
$\Rightarrow \stackrel{\to }{SA}=\left(115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}\right)$, $\stackrel{\to }{SB}=\left(0;115\sqrt{2};-7\sqrt{439}\right)$, $\stackrel{\to }{SC}=\left(-115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}\right).$
Từ các vectơ trên ta tính được:
– Một VTPT của $\left(SAB\right)$ là ${\stackrel{\to }{n}}_{1}=115\sqrt{2}\left(7\sqrt{439};7\sqrt{439};115\sqrt{2}\right)$,
– Một VTPT của $\left(SBC\right)$ là ${\stackrel{\to }{n}}_{2}=-115\sqrt{2}\left(7\sqrt{439};-7\sqrt{439};-115\sqrt{2}\right).$
Do đó $\cos \left(\left(SAB\right),\left(SBC\right)\right)=\left|\cos \left({\stackrel{\to }{n}}{1},{\stackrel{\to }{n}}{2}\right)\right|=\frac{26\text{ }450}{69\text{ }472}\Rightarrow \left(\left(SAB\right),\left(SBC\right)\right)\approx 67,{6}^{\circ }.$
5.24. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, sao cho mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ chứa đáy bể, $O$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ xuống đáy bể, tia $Ox$ chứa chân đường vuông góc kẻ từ $A$ xuống đáy bể, tia $Oy$ chứa chân đường vuông góc kẻ từ $C$ xuống đáy bể, tia $Oz$ chứa điểm $B$, đơn vị trên các trục là mét.
Ta có: $A\left(1;0;0,4\right)$, $B\left(0;0;0,44\right)$, $C\left(0;1;0,48\right).$
a) Vì $\stackrel{\to }{AD}=\stackrel{\to }{BC}$ nên ta tính được $D=\left(1;1;0,44\right)$. Do đó khoảng cách từ $D$ đến đáy bể là $44$ cm.
b) Ta có: $\stackrel{\to }{AB}=\left(-1;0;0,04\right)$, $\stackrel{\to }{BC}=\left(0;1;0,04\right).$
Đặt $\stackrel{\to }{n}=\left[\stackrel{\to }{AB},\stackrel{\to }{BC}\right]=\left(-0,04;0,04;-1\right)$, một VTPT của mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ là $\stackrel{\to }{k}=\left(0;0;1\right)$
$\Rightarrow \cos \left(\left(ABCD\right),\left(Oxy\right)\right)=\left|\cos \left(\stackrel{\to }{n},\stackrel{\to }{k}\right)\right|=\frac{25}{\sqrt{627}}\Rightarrow \left(\left(ABCD\right),\left(Oxy\right)\right)\approx 3,{2}^{\circ }.$
Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang khoảng $3,{2}^{\circ }$.

Bài 17. Phương trình mặt cầu I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng Học xong bài này, HS cần đạt được các yêu cầu sau: Nhận biết được phương trình mặt cầu. Xác đị

– Mục 2: 1 tiết. – Bài tập cuối bài: 0,5 tiết. 2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Nêu vấn đề, Giúp HS có

$b) Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là trung điểm $I$ của $AB$, ta có $I = \left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)$, bán kính là $R = IA = \frac{{\sqrt {14}$

Mối liên hệ giữa vĩ độ, kinh độ của một điểm và toạ độ của điểm đó trong không gian Oxyz. Ví dụ 5, HS học kĩ năng tính khoảng cách giữa hai điểm trên bề mặt Trá

$BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V (2 tiết) I. TỔNG KẾT KIẾN THỨC 1. Phương trình mặt phẳng Một mặt phẳng đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ $\vec{n} = (A; B; C)$ làm$

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ và điểm $M(x_0; y_0; z_0)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là $\text{d}(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
3. Phương trình đường thẳng trong không gian
– Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và có một VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ thì phương trình tham số của $\Delta$ là $\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct. \end{cases}$
– Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và có một VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ và $abc \neq 0$ thì phương trình chính tắc của $\Delta$ là $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$.
– Nếu đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số $\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases}$ hoặc phương trình chính tắc $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$ thì đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và nhận vectơ $\vec{u} = (a; b; c)$ làm VTCP.
4. Một số công thức tính góc trong không gian
– Góc giữa hai mặt phẳng $(P), (Q)$: Gọi $\vec{n} = (A; B; C)$ và $\vec{n'} = (A'; B'; C')$ lần lượt là VTPT của $(P)$ và $(Q)$. Khi đó, ta có:
$\cos((P), (Q)) = \left| \cos(\vec{n}, \vec{n'}) \right| = \frac{\left| \vec{n} \cdot \vec{n'} \right|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n'}|} = \frac{|AA' + BB' + CC'|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{A'^2 + B'^2 + C'^2}}$.
– Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$: Gọi $\vec{n} = (A; B; C)$ và $\vec{u} = (a; b; c)$ lần lượt là VTPT của $(P)$ và VTCP của $\Delta$. Khi đó, ta có:
$\sin(\Delta, (P)) = \left| \cos(\vec{n}, \vec{u}) \right| = \frac{\left| \vec{n} \cdot \vec{u} \right|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|} = \frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

$– Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $\Delta'$: Gọi $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{u'} = (a'; b'; c')$ lần lượt là VTCP của $\Delta$ và $\Delta'$. Khi$

$b) $\overrightarrow{AC}=(-2;-2;4)=-2(1;1;-2)$ là một VTCP của đường thẳng $AC$ nên phương trình chính tắc của đường thẳng $AC$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\fr$

$b) Đường thẳng $\Delta$ song song với $d$ và $\Delta$ đi qua $A(1;0;2)$, đường thẳng $\Delta$ có một VTCP là $\vec{u} = (1;2;2)$. Phương trình đường thẳng $\Del$

$Phương trình mặt phẳng $(R)$ là: $2(x+1)-1(y-2)+3(z-0)=0 \Leftrightarrow 2x-y+3z+4=0$. 5.47. a) Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow{u_{d}}=(1 ; 2 ;-$

Phương trình mặt phẳng $(R)$ là:
$2(x+1)-1(y-2)+3(z-0)=0 \Leftrightarrow 2x-y+3z+4=0$.
5.47. a) Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow{u_{d}}=(1 ; 2 ;-2)$, đi qua điểm $A(-2 ;-3 ; 3)$.
Đường thẳng $d^{\prime}$ có một VTCP là $\overrightarrow{u_{d^{\prime}}}=(-1 ; 1 ; 2)$, đi qua điểm $B(1 ;-2 ; 0)$.
Ta có $\left[\overrightarrow{u_{d}}, \overrightarrow{u_{d^{\prime}}}\right]=(6 ; 0 ; 3), \overrightarrow{A B}=(3 ; 1 ;-3) \Rightarrow\left[\overrightarrow{u_{d}}, \overrightarrow{u_{d^{\prime}}}\right] \cdot \overrightarrow{A B}=9 \neq 0$. Do đó hai đường thẳng $d, d^{\prime}$ chéo nhau.
b) Ta có $\cos \left(d, d^{\prime}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u_{d}}, \overrightarrow{u_{d^{\prime}}}\right)\right|=\frac{\sqrt{6}}{6} \Rightarrow\left(d, d^{\prime}\right) \approx 66^{\circ}$.
5.48. Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\vec{u}=(2 ;-2 ; 1)$, mặt phẳng $(P)$ có một VTPT là $\vec{n}=(1 ; 1 ;-2)$. Ta có $\sin (d,(P))=\left|\cos (\vec{u}, \vec{n})\right|=\frac{\sqrt{6}}{9} \Rightarrow(d,(P)) \approx 15,8^{\circ}$.
5.49. Gọi ba vị trí trên mặt bể là $A, B, C$ thì tam giác $A B C$ là tam giác đều cạnh bằng $2 \mathrm{~m}$. Gọi dây dọi lần lượt là $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ có độ dài lần lượt là $4 \mathrm{~m} ; 4,4 \mathrm{~m} ; 4,8 \mathrm{~m}$.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho $O$ là trung điểm của $B C$, tia $O x$ chứa điểm $A$, tia $O y$ chứa điểm $B$, tia $O z$ đi qua trung điểm của $B^{\prime} C^{\prime}$ và đơn vị trên các trục là mét.
Ta có: $O B=O C=1, O A=\sqrt{3} \Rightarrow A^{\prime}=(\sqrt{3} ; 0 ; 4), B^{\prime}=(0 ; 1 ; 4,4), C^{\prime}=(0 ;-1 ; 4,8)$
$\Rightarrow \overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}=(-\sqrt{3} ; 1 ; 0,4), \overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}=(-\sqrt{3} ;-1 ; 0,8)$.
Mặt phẳng $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ có một VTPT là $\vec{n}=\left[\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}, \overrightarrow{A^{\prime} C^{\prime}}\right]=0,4 \cdot \sqrt{3}(\sqrt{3} ; 1 ; 5)$.
Mặt phẳng $(A B C)$ có một VTPT là $\vec{k}=(0 ; 0 ; 1)$.
Do đó $\cos ((A B C),\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right))=\left|\cos (\vec{n}, \vec{k})\right|=\frac{5}{\sqrt{29}}$. Góc cần tìm khoảng $21,8^{\circ}$.
5.51. Ta có $\overrightarrow{A B}=(4 ; 4 ;-1)$, mặt phẳng $(O x y)$ có một VTPT là $\vec{k}=(0 ; 0 ; 1)$.
Khi đó $\sin (A B,(O x y))=\left|\cos \left(\overrightarrow{A B}, \vec{k}\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{33}} \Rightarrow(A B,(O x y)) \approx 10^{\circ}$.
5.52. Ta có $A B^{2}=O B^{2}-O A^{2}=2 \Rightarrow A B=\sqrt{2}$. Do 1 đơn vị dài trong không gian $O x y z$ tương ứng với $6371 \mathrm{~km}$ trên thực tế nên khoảng cách $A B$ là $\sqrt{2} \cdot 6371 \approx 9010(\mathrm{~km})$.

Bài 18: Xác suất có điều kiện 4 tiết Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes 4 tiết Bài tập cuối chương VI 1 tiết 3 Một số điểm cần lưu ý Các bà

Nhận biết định nghĩa xác suất có điều kiện và ý nghĩa của khái niệm này trong
những tình huống thực tiễn quen thuộc. - Biết tính xác suất có điều kiện từ công thức, từ bảng dữ liệu thống kê 2 u 2 và từ sơ
đồ hình cây. - Nắm được và biết vận dụng công thức nhân xác suất.
2. Về năng lực, phẩm chất
Năng lực tư duy và lập luận toán học. - Năng lực giao tiếp toán học. - Năng lực mô hình hoá toán học. - Năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực tiễn.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Cố gắng kết nối bài học trong sách với cuộc sống thực đang diễn ra. - Phát huy tính tích cực của HS, khắc phục nhược điểm của phương pháp truyền thụ
một chiều trước đây. - Tăng cường các hoạt động và luyện tập trên lớp, tăng cường sự tương tác hai chiều
giữa GV và HS. - Sau khi kiến thức mới được hình thành và đóng khung trong Khung kiến thức, sẽ có
ví dụ minh hoạ. Ví dụ đóng vai trò làm mẫu cho Luyện tập tiếp nối ngay theo Ví dụ. - Các HĐ, Luyện tập được thực hiện ngay tại lớp. GV cho HS suy nghĩ 5 - 10 phút rồi
hỏi HS trả lời. Nếu không có HS nào xung phong thì GV chỉ định một HS. GV có thể thực hiện việc chữa bài HĐ, Luyện tập đó như sau: Nếu HS làm đúng GV sẽ trình bày lại lời giải của HS đó cho rõ ràng và mạch lạc. Nếu HS đó sai GV sẽ phân tích xem sai ở đâu. Trong mọi trường hợp việc chữa bài Luyện tập đều rất có ích cho việc củng cố kiến thức mới.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 4 tiết. Cụ thể như sau: - Mục 1: Xác suất có điều kiện 3 tiết - Mục 2: Công thức nhân xác suất 1 tiết

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học Tiết 1, 2, 3 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN Nêu vấn đề, Giới thiệu trò chơi "Ô cửa bí mật" một trò c

$Vậy $n(\overline{B}) = 10 \cdot 29$ và $P(\overline{B}) = \frac{n(\overline{B})}{n(\Omega)}$. Bình có 10 cách chọn bi đen. An có 20 cách chọn viên bi trắng. Vậy$

a) Gọi $A$ là biến cố: "Bệnh nhân đó uống thuốc M". $B$ là biến cố: "Bệnh nhân đó khỏi bệnh". Ta cần tính $P(A|B)$. Ta có $B$ là tập hợp con của không gian mẫu

Tiết 4 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 1. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT HĐ2, Khởi động cho việc hình thành công thức nhân xác suất., GV cho HS suy nghĩ

$a) +) Trước khi người chủ trò mở cánh cửa số 3 thì ba biến cố $E_1, E_2, E_3$ là đồng khả năng. Do đó $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$. +) Xét $P(H | E_$

$mang số chẵn”. Ta có $AB = {10} \Rightarrow n(AB) = 1$. $P(AB) = \frac{1}{20}$; $P(B) = \frac{10}{20}$. Vậy $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{1}{10}$. 6.2. $$

Bài 19. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES (4 tiết) I. MỤC TIÊU 1. Về kiến thức, kĩ năng – Nắm được công thức xác suất toàn phần.

Sử dụng sơ đồ hình cây để mô tả công thức xác suất toàn phần. - Vận dụng công thức xác suất toàn phần trong một số bài toán có nội dung thực tế và
trong Sinh học. - Nắm được công thức Bayes. Biết được ý nghĩa của công thức này. - Vận dụng công thức Bayes trong một số bài toán có nội dung thực tế đặc biệt là chẩn
đoán bệnh trong Y học.
2. Về năng lực, phẩm chất
Năng lực tư duy và lập luận toán học. - Năng lực giao tiếp toán học. - Năng lực mô hình hoá toán học.
Năng lực giải quyết vấn đề toán học thông qua các bài toán thực tiễn.
II. NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý
Cố gắng kết nối bài học trong sách với cuộc sống thực đang diễn ra. - Phát huy tính tích cực của HS, khắc phục nhược điểm của phương pháp truyền thụ
một chiều trước đây. - Tăng cường các hoạt động và luyện tập trên lớp, tăng cường sự tương tác hai chiều
giữa GV và HS. - Sau khi kiến thức mới được hình thành và đóng khung trong Khung kiến thức, sẽ có
ví dụ minh hoạ. Ví dụ đóng vai trò làm mẫu cho Luyện tập tiếp nối ngay theo Ví dụ. - Các Hoạt động, Luyện tập được thực hiện ngay tại lớp. GV cho HS suy nghĩ 5 - 10
phút rồi gọi HS trả lời. Nếu không có HS nào xung phong thì GV chỉ định một HS. GV sẽ thực hiện việc chữa bài Hoạt động, Luyện tập đó như sau: Nếu HS làm đúng GV sẽ trình bày lại lời giải của HS đó cho rõ ràng và mạch lạc. Nếu HS đó sai GV sẽ phân tích xem sai ở đâu. Trong mọi trường hợp việc chữa bài Luyện tập đều rất có ích cho việc củng cố kiến thức mới.
III. GỢI Ý DẠY HỌC
1. Thời lượng
Dự kiến phân bổ thời gian: 4 tiết. Cụ thể như sau: - Mục 1: Công thức xác suất toàn phần 2 tiết - Mục 2: Công thức Bayes 2 tiết

2. Thực hiện các hoạt động chính của bài học Tiết 1, 2 HOẠT ĐỘNG, MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, GỢI Ý THỰC HIỆN 1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN Nêu vấn đề, Tình huống đặt

$Thay vào công thức xác suất toàn phần ta được: $P(B) = P(A) \cdot P(B \mid A) + P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A})$ $= 0,75 \cdot 0,4 + 0,25 \cdot 0,9$

$$P(K \mid \overline{A})$ là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene Bb. Vậy $P(K \mid \overline{A}) = \frac{1}{2}$. Thay vào (1) ta$

Khung kiến thức, Trình bày công thức Bayes và ý nghĩa của nó., GV triển khai theo SGK. Ví dụ 2, Minh hoạ cách vận dụng công thức Bayes., GV triển khai theo SGK.

Luyện tập 5, Tiếp tục để hoàn thành Ví dụ 3., HS tự làm (trong 5 – 10 phút). GV gọi HS lên bảng. GV nhận xét bài làm và tổng kết lại phương pháp giải. Đáp số: a

$Theo công thức xác suất toàn phần $P(B) = P(A) \cdot P(B \mid A) + P\left(\overline{A}\right) \cdot P\left(B \mid \overline{A}\right)$. Ta có $P(A) = \frac{3}{1$

6.10. a) Gọi $A$ là biến cố: "Vận động viên thuộc đội I"; $B$ là biến cố: "Vận động viên thuộc đội II"; $E$ là biến cố: "Vận động viên đạt huy chương vàng". Ta

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI I. GỢI Ý DẠY HỌC – GV hệ thống lại kiến thức lí thuyết (có thể chuẩn bị slide tổng kết kiến thức). – Tuỳ tình hình thực tế của lớp, GV có

$6.17. Đáp án D. Gọi $E$ là biến cố: “Chiếc kẹo thứ nhất là sô cô la đen”; $F$ là biến cố: “Chiếc kẹo thứ hai là sô cô la trắng”. Ta có $P(E)=\frac{6}{10}$; $P(F$

$c) $P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. 6.20. Gọi $A$ là biến cố: "Người chơi chọn chuồng I", $B$ là biến cố: "Người chơi bắt được c$

BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM I. GỢI Ý DẠY HỌC GV hệ thống hoá kiến thức lí thuyết (có thể chuẩn bị slide tổng kết kiến thức). GV hệ thống các dạng toán cơ bản và nhắ

$Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là: $V = \pi \int\limits_0^4 {\left( {2\sqrt x } \right)^2 dx} = 4\pi \int\limits_0^4 {x{\rm{d}}x} = \left. {2\pi {x^2}} \ri$

$Giới hạn tại vô cực: $\lim\limits_{x \to +\infty} y = \lim\limits_{x \to +\infty} (x^3 - 3x^2) = +\infty$; $\lim\limits_{x \to -\infty} y = \lim\limits_{x \to -$

$Bảng biến thiên: $x$, $-\infty$, $-2$, $+\infty$ $y'$, +, + $y$, $2 \nearrow +\infty$, $-\infty \nearrow 2$ Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $\l$

$Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$, $y_{CT}=5+2\sqrt{2}$. Tiệm cận: $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$; $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$; $\lim_$

$Ta có $y(1)=\sqrt{2}$; $y(-1)=0$; $y(2)=\frac{3}{\sqrt{5}}$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 2]$ là $0$ đạt được khi $x=-1$, giá trị lớn nhất củ$

$19. Ta có $f(x)=\int{\left( x-\frac{1}{{{x}^{2}}}+2 \right)\text{d}x=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{x}+2x+C}$. Mà $f\left( 1 \right)=2$ nên $\frac{1}{2}+1+2+C=2\L$

19. Ta có $f(x)=\int{\left( x-\frac{1}{{{x}^{2}}}+2 \right)\text{d}x=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{x}+2x+C}$.
Mà $f\left( 1 \right)=2$ nên $\frac{1}{2}+1+2+C=2\Leftrightarrow C=-\frac{3}{2}$. Khi đó $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{x}+2x-\frac{3}{2}$.
20. a) $I=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-x \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-x \right|\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-x \right|\text{d}x}$
$=\int\limits_{0}^{1}{\left( x-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\text{d}x}=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1$.
b) $I=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{\left( 8{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+6x-1 \right)}\text{d}x={{\left. \left( 2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x \right) \right|}_{0}^{1}}=0$.
c) $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 3\sin x-\frac{2}{{{\cos }^{2}}x} \right)}\text{d}x={{\left. \left( -3\cos x-2\tan x \right) \right|}_{0}^{\frac{\pi }{4}}}=\frac{2-3\sqrt{2}}{2}$.
d) $I=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2{{e}^{x}}-\frac{1}{x} \right)}\text{d}x={{\left. \left( 2{{e}^{x}}-\ln x \right) \right|}_{1}^{2}}=2{{e}^{2}}-2e-\ln 2$.
21. Diện tích hình phẳng cần tìm là
$\int\limits_{-2}^{3}{\left| \left( {{x}^{2}}-1 \right)-\left( x+5 \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{-2}^{3}{\left| {{x}^{2}}-x-6 \right|\text{d}x}$
$=\int\limits_{-2}^{3}{\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)}\text{d}x=-{{\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}-6x \right) \right|}_{-2}^{3}}=\frac{125}{6}$.
22. Thể tích khối tròn xoay cần tính là
$V=\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( -{{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}\text{d}x=\pi \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}} \right)}\text{d}x=\pi {{\left. \left( \frac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{4}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}} \right) \right|}_{0}^{2}}=\frac{\pi }{15}$.
23. a) Ta có
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}$
$=\overrightarrow{AB}\cdot \left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)+\overrightarrow{AC}\cdot \left( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} \right)+\overrightarrow{AD}\cdot \left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)$
$=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=0$.

$b) Theo câu a và theo giả thiết thì $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$; $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ nên $\overrightarro$

b) Theo câu a và theo giả thiết thì $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$; $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ nên $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Rightarrow AD \perp BC$.
a) Ta có $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC'} + \overrightarrow{GD'} = \vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AD'} - \overrightarrow{AG} = \vec{0}$
$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'})$.
b) Theo câu a ta có: $AG^2 = \frac{4}{9}(AB^2 + AD^2 + AA'^2) = \frac{4}{3}a^2 \Rightarrow AG = \frac{2\sqrt{3}a}{3}$.
Mặt phẳng $(P)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n_p} = (2; -2; -1)$ và cũng là một VTCP của đường thẳng $d$ nên phương trình đường thẳng $d$ là: $\begin{cases} x = -1 + 2t \ y = 2 - 2t \ z = 1 - t \end{cases}$.
a) Vì $d'$ đi qua $A$ và song song với $d$ và $d$ có một VTCP là $\overrightarrow{u_d} = (1; -2; 2)$ nên phương trình đường thẳng $d'$ là: $\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-2}{2}$.
b) Đường thẳng $d$ đi qua $B(2; 3; -1)$, ta có $\overrightarrow{AB} = (3; 2; -3)$, $\overrightarrow{u_d} = (1; -2; 2)$ nên một VTPT của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{u_d}] = -(2; 9; 8)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$2(x+1) + 9(y-1) + 8(z-2) = 0 \Leftrightarrow 2x + 9y + 8z - 23 = 0$.
a) Ta có $\overrightarrow{OA} = (1; -2; 3)$, $\overrightarrow{OB} = (3; 0; -1)$ nên một VTPT của mặt phẳng $(OAB)$ là $\vec{n} = [\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}] = 2(1; 5; 3)$. Phương trình mặt phẳng $(OAB)$ là $x + 5y + 3z = 0$.
b) Ta tìm được toạ độ trung điểm là $I = (2; -1; 1)$.
c) Ta có: $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right| = \left| 2\overrightarrow{MI} \right| = 2MI$.
Vì $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên để MI nhỏ nhất thì $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt phẳng $(Oxy) \Rightarrow M = (2; -1; 0)$.
Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \right|$ nhỏ nhất khi $M = (2; -1; 0)$.

$28. Ta có $\overrightarrow{AS}=\left(1;1;4\right),\overrightarrow{BS}=\left(-1;2;3\right)$. Phương trình đường thẳng $AS$ là $\left{\begin{array}{l}x=1+t\ y=2+t$

$Tính $P(C)$. Gọi $A$ là biến cố: “An bắt được gà mái”. Theo công thức xác suất toàn phần ta có $P(C) = P(A)P(C \mid A) + P\left(\overline{A}\right)P\left(C \mid$

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam xin trân trọng cảm ơn các tác giả có tác phẩm, tư liệu được sử dụng, trích dẫn trong cuốn sách này. Chịu trách nhiệm xuất bản: Ch

Báo lỗi

Giao bài

Đang tải dữ liệu câu hỏi