Gọi nghiệm nguyên của P(x) là: k

ta có: ak3+bk2+ck+d=0ak3+bk2+ck+d=0

k.(ak2+bk+k)=−dk.(ak2+bk+k)=−d( *)

ta có: P(1)=a+b+c+dP(1)=a+b+c+d

P(0)=dP(0)=d

mà P(1); P(0) là các số lẻ

=> a+b+c+d và d là các số lẻ

mà d là số lẻ

=> a+b+c là số chẵn

Từ (*) => k thuộc Ư(d)

mà d là số lẻ

=> k là số lẻ

=> k3−1;k2−1;k−1k3−1;k2−1;k−1là các số chẵn

⇒a(k3−1)+b(k2−1)+c(k−1)⇒a(k3−1)+b(k2−1)+c(k−1) là số chẵn

=(ak3+bk2+ck)−(a+b+c)=(ak3+bk2+ck)−(a+b+c)

mà a+b+c là số chẵn

⇒ak3+bk2+c⇒ak3+bk2+c là số chẵn

Từ (*) => d là số chẵn ( vì d là số lẻ)

=> P(x) không thể có nghiệm nguyên

Xét đa thức P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d

⇒P(0)=d⇒P(0)=d

      P(1)=ax+bx+c+dP(1)=ax+bx+c+d

Giả sử tồn tại tại số nguyên kk là nghiệm của đa thức P(x)P(x) nên P(k)=0P(k)=0

+) Với k là số chẵn

⇒P(k)−d=ak3+bk3+ck⇒P(k)-d=ak3+bk3+ck là số chẵn

Mà P(k)−d=P(k)−P(0)=−P(0)P(k)-d=P(k)-P(0)=-P(0) là số chẵn

⇒k⇒k là số chẵn  (loại)   (1)

+) Với k là số lẻ

⇒P(k)−P(1)=a(k3−1)+b(k2−1)+c(k−1)⇒P(k)-P(1)=a(k3-1)+b(k2-1)+c(k-1)

Vì kk là số lẻ nên k3−1;k2−1;k−1k3-1;k2-1;k-1 là các số chẵn

⇒P(k)−P(1)⇒P(k)-P(1) là số chẵn

⇒P(1)⇒P(1) là số chẵn

⇒k⇒k là số lẻ  (loại)   (2)

Từ (1), (2)

⇒⇒ Không tồn tại số nguyên kk sao cho P(k)=0P(k)=0

⇒P(x)⇒P(x) không thể có nghiệm là số nguyên   (đpcm)

Thay x = 0 vào x . P(x + 2 ) = ( x² - 9 )P(x) ta có:
   0.P( 0 + 2 ) = (4 - 9). P(0) suy ra 5. P(0) = 0 hay P(0) = 0. Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức.
Thay x = 3 vào x . P(x + 2 ) = ( x² - 9 )P(x) ta có:
   3.P(5) = (9 - 9 ).P(3) suy ra P(5 ) = 0 . Vậy x = 5 là nghiệm của đa thức P(x).
Tương tự với x = - 3 ta có:
-3. P(-1) = (9 - 9). P(-3) suy ra P(-1) = 0. Vậy x = -1 cũng là nghiệm của đa thức P(x).
Vậy đa thức P(x) có ít nhất 3 nghiệm là: 0; 5; -1.
b, Giả sử P(x) có nghiệm nguyên là a. Khi đó sẽ có đa thức g(x) để: P(x) = g(x) (x - a).
    P(1) = (1-a).g(1) là một số lẻ suy ra 1- a là số lẻ .Vậy a chẵn.
   P(0) = a  .g(0) là một số lẻ , suy ra a là số chẵn.
a không thể vừa là số lẻ, vừa là số chẵn. Ta có mâu thuẫn. 
Vậy ta có ĐPCM.
  

Bùi Thị Vân ơi, khúc đầu câu a) là thay x=0 vài x.P(x+2) = (x^2-9) P(x) mà bạn thay bị sai thì phải.Bạn xem lại giúp mình

Giả sử đa thức f(x) có nghiệm nguyên k. Khi đó ta có
ak³ + bk² + ck + d = 0;
hay
k(ak² + bk + c) = -d (*).
Từ giả thiết ta có
f(1) = a + b + c + d;
f(0) = d.
Vì f(0) và f(1) là các số lẻ nên d và a + b + c + d là các số lẻ; suy ra d lẻ và a + b + c chẵn. Từ giả thiết (*) suy ra k là ước của d, và vì d lẻ nên k lẻ. Từ đó ta có k³ - 1, k² - 1, k - 1 là các số chẵn suy ra a(k³ - 1) + b(k² - 1) + c(k - 1) là số chẵn, hay (ak³ + bk² + ck) - (a + b + c) là số chẵn. Nhưng vì a + b + c chẵn nên ak³ + bk² + ck chẵn, và vì giả thiết (*) nên -d chẵn, hay d chẵn. Điều này trái giả thiết vì d lẻ.
Vậy, với các điều kiện đã cho thì f(x) không có nghiệm nguyên.

Ko biết là bạn có cần nữa ko.

Nhưng mình vẫn trả lời cho những bạn khác đang cần.

Do P(0) và P(1) lẻ nên ta có:

P(0)=d=> d là số lẻ

P(1)=a+b+c+d => a+b+c+d là số lẻ

Giả sử y là nghiệm nguyên của P(x). Khi đó:

P(y)=ay^3+by^2+cy+d=0

     =>ay^3+by^2+cy=-d

Mà d là số lẻ

=>y là số lẻ

Lại có: P(y)-P(1)=(ay^3+by^2+cy+d)-(a+b+c+d)

                         =a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1)+(d-d)

                         =a(y^3-1)+b(y^2-1)+c(y-1)

Do y là số lẻ=>P(y)-P(1) là số chẵn(1)

Mà P(y)-P(1)= 0-a+b+c+d

                   =-a-b-c-d

Do a+b+c+d lẻ

=>-a-b-c-d lẻ 

Hay P(y)-P(1) là số lẻ(2)

Vì (1) và (2) mâu thuẫn

=> Giả sử sai

Hay f(x) ko thể có nghiệm là các số nguyên(ĐCCM)

 Chỗ: mà d là số lẻ bổ sung thêm cho mình: nên -d là số lẻ nha

hihi

Ta có : f(1)= a*1³+b*1³+c*x+d = a+b+c+d=0

Vay neu a+b+c+d =0 thi da thuc co mot nghiem la 1 

F(1)=a.1³+b.1²+c.1+d=a+b+c+d=0   (theo giả thiết)

=> 1 là nghiệm của F(x)

Câu 2 : \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c=0\)

Vì theo đề:f(x)=0 với mọi giá trị của x nên t cho x nhận 3 giá trị tùy ý

Giả sử x=0;x=1;x=-1 là 3 giá trị đó.

Ta có:f(0)=a.02+b.0+c=c

f(1)=a.12+b.1+c=a+b+c

f(-1)=a.(-1)2+b.(-1)+c=a-b+c

Do đó c=0;a+b+c=0;a-b+c=0

=>a-b=0=>a=b

và a+b=0=>a=b=0

Vậy a=b=c=0