Tình huống mở đầu Mục 1: Số khán giả đến xem buổi biểu diễn ca nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất để bán hết vé là $0,9$; còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé chỉ là $0,4$. Dự báo thời tiết cho thấy xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là $0,75$. Nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất để bán được hết vé là bao nhiêu.

Gọi $A$ là biến cố “Trời mưa” và $B$ là biến cố “Bán hết vé” trong tình huống mở đầu.

a) Tính $P(A)$, $P(\overline{A})$, $P(B\,|\,A)$, $P(B\,|\,\overline{A})$.

b) Trong hai xác suất $P(A)$ và $P(B)$, nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất nào nhất?

Trở lại tình huống mở đầu Mục 1. Tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé.

Tình huống mở đầu Mục 1: Số khán giả đến xem buổi biểu diễn ca nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất để bán hết vé là $0,9$; còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé chỉ là $0,4$. Dự báo thời tiết cho thấy xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là $0,75$. Nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất để bán được hết vé là bao nhiêu.

Trở lại Ví dụ 1. Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt.

Ví dụ 1. Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$. Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.

Giải

Kí hiệu $A$ là biến cố: "Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy"; $B$ là biến cố: "Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy".

Ta vẽ sơ đồ hình cây như sau:

Trên nhánh cây $OA$ và $O\overline{A}$ tương ứng ghi $P(A)$ và $P(\overline{A})$;

Trên nhánh cây $AB$ và $A\overline{B}$ tương ứng ghi $P(B\,|\,A)$ và $P(\overline{B}\,|\,A)$;

Trên nhánh cây $\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$ tương ứng ghi $P(B\,|\,\overline{A})$ và $P(\overline{B}\,|\,\overline{A})$.

Có hai nhánh cây đi tới $B$ là $OAB$ và $O\overline{A}B$. Vậy:

$P(B) = 0,4 \cdot 0,3 + 0,6 \cdot 0,4 = 0,36$.

Vận dụng. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này là gene trội B và gene lặn b.

Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là $40\%$ và $60\%$. Tính xác suất để cây con có kiểu gene bb.

Hướng dẫn:

Gọi $A$ là biến cố: "Cây bố có kiểu gene bb";

$M$ là biến cố: "Cây con lấy gene b từ cây bố";

$N$ là biến cố: "Cây con lấy gene b từ cây mẹ";

$E$ là biến cố: "Cây con có kiểu gene bb".

Theo giả thiết, $M$ và $N$ độc lập nên$P(E) = P(M) \cdot P(N)$.

Tính $P(M)$: Ta áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P(M) = P(A) \cdot P(M\,|\,A) + P(\overline{A}) \cdot P(M\,|\,\overline{A}). \quad (*)$

Ta có $P(A) = 0,4$; $P(\overline{A}) = 0,6$.

$P(M\,|\,A)$ là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb. Do đó $P(M\,|\,A) = 1$.

$P(M\,|\,\overline{A})$ là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene Bb. Do đó

$P(M\,|\,\overline{A}) = \dfrac{1}{2}$.

Thay vào $(*)$ ta được: $P(M) = 0,4 \cdot 1 + 0,6 \cdot \dfrac{1}{2} = 0,7$.

Tương tự tính được $P(N) = 0,7$.

Vậy $P(E) = P(M) \cdot P(N) = 0,7 \cdot 0,7 = 0,49$.

Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể các cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là $40\%$ và $60\%$, thì tỉ lệ cây con có kiểu gene bb là khoảng $49\%$.

Với giả thiết như vận dụng trên.

a) Hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene BB.

b) Sử dụng kết quả của vận dụng trên và câu a, hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb.

Tình huống mở đầu Mục 2: Trong Y học, để chẩn đoán bệnh X nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh X. Xét nghiệm âm tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người không mắc bệnh X. Vì không có một xét nghiệm nào tuyệt đối đúng nên trên thực tế có thể xảy ra hai sai lầm sau:

- Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.

- Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả. Ông M đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo X. Biết rằng, nếu một người mắc bệnh X thì với xác suất $0,95$ xét nghiệm cho dương tính; nếu một người không bị bệnh X thì với xác suất $0,01$ xét nghiệm cho dương tính.

Xét nghiệm của ông M cho kết quả dương tính. Ông M hoảng hốt khi nghĩ rằng mình có xác suất $0,95$ mắc bệnh hiểm nghèo X.

Trong tình huống mở đầu Mục 2, gọi $A$ là biến cố: "Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X"; $B$ là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

a) Nêu các nội dung còn thiếu tương ứng với "(?)" để hoàn thành các câu sau đây:

• $P(A\,|\,B)$ là xác suất để (?) với điều kiện (?);

• $P(B\,|\,A)$ là xác suất để (?) với điều kiện (?).

b) $0,95$ là $P(A\,|\,B)$ hay $P(B\,|\,A)$? Có phải ông M có xác suất $0,95$ mắc bệnh hiểm nghèo X không?

Tình huống mở đầu Mục 2: Trong Y học, để chẩn đoán bệnh X nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh X. Xét nghiệm âm tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người không mắc bệnh X. Vì không có một xét nghiệm nào tuyệt đối đúng nên trên thực tế có thể xảy ra hai sai lầm sau:

- Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.

- Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả. Ông M đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo X. Biết rằng, nếu một người mắc bệnh X thì với xác suất $0,95$ xét nghiệm cho dương tính; nếu một người không bị bệnh X thì với xác suất $0,01$ xét nghiệm cho dương tính.

Xét nghiệm của ông M cho kết quả dương tính. Ông M hoảng hốt khi nghĩ rằng mình có xác suất $0,95$ mắc bệnh hiểm nghèo X.

Trở lại tình huống mở đầu Mục 2. Thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là $0,2\%$.

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?

b) Sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là bao nhiêu?