Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Ví dụ 4. Trong một hộp kín có $7$ chiếc bút bi xanh và $5$ chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong $11$ chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh.

Giải

Gọi $A$ là biến cố: "Bạn Sơn lấy được bút bi đen";

$B$ là biến cố: "Bạn Tùng lấy được bút bi xanh".

Ta cần tính $P(AB)$.

Vì $n(A) = 5$ nên $P(A) = \dfrac{5}{12}$.

Nếu $A$ xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp có 11 bút bi với 7 bút bi xanh.

Vậy$P(B\,|\,A) = \dfrac{7}{11}$

Theo công thức nhân xác suất: $P(AB) = P(A) \cdot P(B\,|\,A) = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{7}{11} = \dfrac{35}{132}$.

Tình huống mở đầu: Ô cửa bí mật (Let's Make a Deal) là một trò chơi trên truyền hình nổi tiếng ở Mỹ, đã được
mua bản quyền và phát sóng ở nhiều nước trên thế giới. Nội dung trò chơi như sau:

• Người chơi được mời lên sân khấu và đứng trước ba cánh cửa đóng kín. Sau một cánh cửa có chiếc ô tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa. Người chơi được yêu cầu chọn ngẫu nhiên một cánh cửa, nhưng không được mở ra.

• Tiếp đó người quản trò tuyên bố sẽ mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa người chơi không chọn mà sau cửa đó là con lừa. Người quản trò hỏi người chơi muốn giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình hay muốn chuyển sang cửa chưa mở còn lại.

Trở lại trò chơi "Ô cửa bí mật" trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.

Kí hiệu $E_1$; $E_2$; $E_3$ tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và $H$ là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi $H$ xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: $P(E_1\,|\,H)$ và $P(E_2\,|\,H)$.

a) Chứng minh rằng:

• $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \dfrac{1}{3}$;

• $P(H\,|\,E_1) = \dfrac{1}{2}$ và $P(H\,|\,E_2) = 1$.

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

• $P(E_1\,|\,H) = \dfrac{P(E_1) \cdot P(H\,|\,E_1)}{P(H)}$;

• $P(E_2\,|\,H) = \dfrac{P(E_2) \cdot P(H\,|\,E_2)}{P(H)}$.

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:

$P(E_2\,|\,H) = 2P(E_1\,|\,H)$.

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Hướng dẫn: Nếu $E_1$ xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy $P(H\,|\,E_1) = \dfrac{1}{2}$.

Nếu $E_2$ xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó $P(H\,|\,E_2) = 1$.

Trở lại Ví dụ 1. Tính $P(A\,|\,\overline{B})$ bằng định nghĩa và bằng công thức.

Ví dụ 1. Một hộp có $20$ viên bi trắng và $10$ viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi $A$ là biến cố: "An lấy được viên bi trắng"; $B$ là biến cố: "Bình lấy được viên bi trắng".

Tính $P(A \, | \, B)$ bằng định nghĩa và bằng công thức tính $P(A \, | \, B)$ ở trên.

Giải

Cách 1: Bằng định nghĩa

Nếu $B$ xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp còn lại $29$ viên bi với $19$ viên bi trắng và $10$ viên bi đen. Vậy$P(A \, | \, B) = \dfrac{19}{29}$.

Cách 2: Bằng công thức

Bình có $30$ cách chọn, An có $29$ cách chọn một viên bi trong hộp. Do đó $n(\Omega) = 30 \cdot 29$.

Bình có $20$ cách chọn một viên bi trắng, An có $29$ cách chọn từ $29$ viên bi còn lại.

Do đó $n(B) = 20 \cdot 29$ và $P(B) = \dfrac{n(B)}{n(\Omega)}$.

$AB$ là biến cố "Bình và An cùng lấy được viên bi trắng". Bình có $20$ cách chọn một viên bi trắng, An có $19$ cách chọn một viên bi trắng trong $19$ viên bi trắng còn lại.

Do đó $n(AB) = 20 \cdot 19$ và $P(AB) = \dfrac{n(AB)}{n(\Omega)}$.

Vậy $P(A \, | \, B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{n(AB)}{n(B)} = \dfrac{20 \cdot 19}{20 \cdot 29} = \dfrac{19}{29}$.