Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P) : x + 3y - z = 0$, $(Q) : x - y - 2z + 1 = 0$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$ và cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Trong không gian $Oxyz$, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z - 1 = 0$, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z - 100 = 0$. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Xét một cối xay lúa trong không gian $Oxyz$, với đơn vị đo độ dài là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí $P$) một lực $\overrightarrow{F}$ thì moment lực $\overrightarrow{M}$ được tính bởi công thức $\overrightarrow{M} = [\overrightarrow{OP}, \, \overrightarrow{F}]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ $AB$ và $PQ$ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\overrightarrow{F}$ có giá song song với $AB$. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\overrightarrow{M}$ có phương thẳng đứng.